Математический анализ Примеры

$\log (w) + \log (3 w - 13) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (w (3 w - 13)) = 1$

Этап 1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (w (3 w) + w \cdot - 13) = 1$

Этап 1.2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log (3 w \cdot w + w \cdot - 13) = 1$

Этап 1.2.2.2

Перенесем $- 13$ влево от $w$ .

$\log (3 w \cdot w - 13 \cdot w) = 1$

Этап 1.3

Умножим $w$ на $w$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем $w$ .

$\log (3 (w \cdot w) - 13 \cdot w) = 1$

Этап 1.3.2

Умножим $w$ на $w$ .

$\log (3 w^{2} - 13 \cdot w) = 1$

$\log (3 w^{2} - 13 w) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log (3 w^{2} - 13 w) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 w^{2} - 13 w$

Этап 3

Решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3 w^{2} - 13 w = 10^{1}$ .

$3 w^{2} - 13 w = 10$

Этап 3.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$3 w^{2} - 13 w - 10 = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 10 = - 30$ , а сумма — $b = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $- 13$ из $- 13 w$ .

$3 w^{2} - 13 w - 10 = 0$

Этап 3.3.1.2

Запишем $- 13$ как $2$ плюс $- 15$

$3 w^{2} + (2 - 15) w - 10 = 0$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 w^{2} + 2 w - 15 w - 10 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 w^{2} + 2 w) - 15 w - 10 = 0$

Этап 3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$w (3 w + 2) - 5 (3 w + 2) = 0$

Этап 3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 w + 2$ .

$(3 w + 2) (w - 5) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 w + 2 = 0$

$w - 5 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $3 w + 2$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $3 w + 2$ к $0$ .

$3 w + 2 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $3 w + 2 = 0$ относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 w = - 2$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $3 w = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 w = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $w$ на $1$ .

$w = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$w = - \frac{2}{3}$

Этап 3.6

Приравняем $w - 5$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $w - 5$ к $0$ .

$w - 5 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$w = 5$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 w + 2) (w - 5) = 0$ верно.

$w = - \frac{2}{3}, 5$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (w) + \log (3 w - 13) = 1$ истинным.

$w = 5$