Математический анализ Примеры

${(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2} = 2$

Этап 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (π x) + \cos (π y) = \pm \sqrt{2}$

Этап 2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (π x) + \cos (π y) = \sqrt{2}$

Этап 2.2

Вычтем $\cos (π y)$ из обеих частей уравнения.

$\sin (π x) = \sqrt{2} - \cos (π y)$

Этап 2.3

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$ .

$\sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$

Этап 2.4

Вычтем $\sqrt{2}$ из обеих частей уравнения.

$- \cos (π y) = \sin (π x) - \sqrt{2}$

Этап 2.5

Разделим каждый член $- \cos (π y) = \sin (π x) - \sqrt{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $- \cos (π y) = \sin (π x) - \sqrt{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (π y)}{- 1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (π y)}{1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.5.2.2

Разделим $\cos (π y)$ на $1$ .

$\cos (π y) = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sin (π x)}{- 1}$ .

$\cos (π y) = - 1 \cdot \sin (π x) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.5.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \sin (π x)$ в виде $- \sin (π x)$ .

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.5.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \frac{\sqrt{2}}{1}$

Этап 2.5.3.1.4

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \sqrt{2}$

Этап 2.6

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$π y = \arccos (- \sin (π x) + \sqrt{2})$

Этап 2.7

Перепишем уравнение в виде $\arccos (- \sin (π x) + \sqrt{2}) = π y$ .

$\arccos (- \sin (π x) + \sqrt{2}) = π y$

Этап 2.8

Возьмем обратный арккосинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\sin (π x)$ из арккосинуса.

$- \sin (π x) + \sqrt{2} = \cos (π y)$

Этап 2.9

Вычтем $\sqrt{2}$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (π x) = \cos (π y) - \sqrt{2}$

Этап 2.10

Разделим каждый член $- \sin (π x) = \cos (π y) - \sqrt{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Разделим каждый член $- \sin (π x) = \cos (π y) - \sqrt{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (π x)}{- 1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (π x)}{1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.10.2.2

Разделим $\sin (π x)$ на $1$ .

$\sin (π x) = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\cos (π y)}{- 1}$ .

$\sin (π x) = - 1 \cdot \cos (π y) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.10.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \cos (π y)$ в виде $- \cos (π y)$ .

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.10.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \frac{\sqrt{2}}{1}$

Этап 2.10.3.1.4

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \sqrt{2}$

Этап 2.11

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$π x = \arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})$

Этап 2.12

Разделим каждый член $π x = \arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Разделим каждый член $π x = \arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

Этап 2.12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

Этап 2.12.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

Этап 2.13

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (π x) + \cos (π y) = - \sqrt{2}$

Этап 2.14

Вычтем $\cos (π y)$ из обеих частей уравнения.

$\sin (π x) = - \sqrt{2} - \cos (π y)$

Этап 2.15

Перепишем уравнение в виде $- \sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$ .

$- \sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$

Этап 2.16

Добавим $\sqrt{2}$ к обеим частям уравнения.

$- \cos (π y) = \sin (π x) + \sqrt{2}$

Этап 2.17

Разделим каждый член $- \cos (π y) = \sin (π x) + \sqrt{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Разделим каждый член $- \cos (π y) = \sin (π x) + \sqrt{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (π y)}{- 1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.17.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (π y)}{1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.17.2.2

Разделим $\cos (π y)$ на $1$ .

$\cos (π y) = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.17.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sin (π x)}{- 1}$ .

$\cos (π y) = - 1 \cdot \sin (π x) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.17.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \sin (π x)$ в виде $- \sin (π x)$ .

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.17.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$\cos (π y) = - \sin (π x) - 1 \cdot \sqrt{2}$

Этап 2.17.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{2}$ в виде $- \sqrt{2}$ .

$\cos (π y) = - \sin (π x) - \sqrt{2}$

Этап 2.18

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$π y = \arccos (- \sin (π x) - \sqrt{2})$

Этап 2.19

Перепишем уравнение в виде $\arccos (- \sin (π x) - \sqrt{2}) = π y$ .

$\arccos (- \sin (π x) - \sqrt{2}) = π y$

Этап 2.20

Возьмем обратный арккосинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\sin (π x)$ из арккосинуса.

$- \sin (π x) - \sqrt{2} = \cos (π y)$

Этап 2.21

Добавим $\sqrt{2}$ к обеим частям уравнения.

$- \sin (π x) = \cos (π y) + \sqrt{2}$

Этап 2.22

Разделим каждый член $- \sin (π x) = \cos (π y) + \sqrt{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.1

Разделим каждый член $- \sin (π x) = \cos (π y) + \sqrt{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (π x)}{- 1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.22.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (π x)}{1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.22.2.2

Разделим $\sin (π x)$ на $1$ .

$\sin (π x) = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.22.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\cos (π y)}{- 1}$ .

$\sin (π x) = - 1 \cdot \cos (π y) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.22.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \cos (π y)$ в виде $- \cos (π y)$ .

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.22.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$\sin (π x) = - \cos (π y) - 1 \cdot \sqrt{2}$

Этап 2.22.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{2}$ в виде $- \sqrt{2}$ .

$\sin (π x) = - \cos (π y) - \sqrt{2}$

Этап 2.23

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$π x = \arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})$

Этап 2.24

Разделим каждый член $π x = \arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.24.1

Разделим каждый член $π x = \arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

Этап 2.24.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.24.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.24.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

Этап 2.24.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

Этап 2.25

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$