Математический анализ Примеры

$3^{2 x} - 3^{x + 2} + 8 = 0$

Этап 1

Перепишем $3^{x + 2}$ в виде $3^{x} \cdot 3^{2}$ .

$3^{2 x} - (3^{x} \cdot 3^{2}) + 8 = 0$

Этап 2

Перепишем $3^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(3^{x})}^{2} - (3^{x} \cdot 3^{2}) + 8 = 0$

Этап 3

Избавимся от скобок.

${(3^{x})}^{2} - 3^{x} \cdot 3^{2} + 8 = 0$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $3^{x}$ .

$u^{2} - u \cdot 3^{2} + 8 = 0$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$u^{2} - u \cdot 9 + 8 = 0$

Этап 5.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$u^{2} - 9 u + 8 = 0$

Этап 6

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разложим $u^{2} - 9 u + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 9$ .

$- 8, - 1$

Этап 6.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 8) (u - 1) = 0$

Этап 6.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 6.3

Приравняем $u - 8$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $u - 8$ к $0$ .

$u - 8 = 0$

Этап 6.3.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$u = 8$

Этап 6.4

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 6.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 6.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 8) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 8, 1$

Этап 7

Подставим $8$ вместо $u$ в $u = 3^{x}$ .

$8 = 3^{x}$

Этап 8

Решим $8 = 3^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $3^{x} = 8$ .

$3^{x} = 8$

Этап 8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{x}) = \ln (8)$

Этап 8.3

Развернем $\ln (3^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (3) = \ln (8)$

Этап 8.4

Разделим каждый член $x \ln (3) = \ln (8)$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Разделим каждый член $x \ln (3) = \ln (8)$ на $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Этап 8.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Этап 8.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Этап 9

Подставим $1$ вместо $u$ в $u = 3^{x}$ .

$1 = 3^{x}$

Этап 10

Решим $1 = 3^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $3^{x} = 1$ .

$3^{x} = 1$

Этап 10.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Этап 10.3

Развернем $\ln (3^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Этап 10.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Этап 10.5

Разделим каждый член $x \ln (3) = 0$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Разделим каждый член $x \ln (3) = 0$ на $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 10.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 10.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 10.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.3.1

Разделим $0$ на $\ln (3)$ .

$x = 0$

Этап 11

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}, 0$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}, 0$

Десятичная форма:

$x = 1.89278926 \dots, 0$