Математический анализ Примеры

$x^{2} - x = \log_{5} (25)$

Этап 1

Логарифм $25$ по основанию $5$ равен $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем как уравнение.

$x^{2} - x = \log_{5} (25) = x$

Этап 1.2

Перепишем $\log_{5} (25) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ положительные вещественные числа, и $b$ не равно $1$ , то равенство $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$x^{2} - x = 5^{x} = 25$

Этап 1.3

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$x^{2} - x = 5^{x} = 5^{2}$

Этап 1.4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x^{2} - x = x = 2$

Этап 1.5

Переменная $x$ равна $2$ .

$x^{2} - x = 2$

Этап 2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Этап 3

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 2, - 1$