Математический анализ Примеры

$x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} = 8 e^{2 x}$

Этап 1

Вычтем $8 e^{2 x}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - 8 e^{2 x} = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - 8 e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $x^{2} e^{2 x}$ .

$e^{2 x} x^{2} + 2 x e^{2 x} - 8 e^{2 x} = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $2 x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) - 8 e^{2 x} = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $- 8 e^{2 x}$ .

$e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 8 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$ .

$e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 8 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 8$ .

$e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$e^{2 x} ((x - 2) (x + 4)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$e^{2 x} (x - 2) (x + 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $e^{2 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $e^{2 x}$ к $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Этап 4.2

Решим $e^{2 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Этап 4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 4.2.3

Нет решения для $e^{2 x} = 0$

Нет решения

Этап 5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{2 x} (x - 2) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 2, - 4$