Математический анализ Примеры

$\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x - 4) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 4) (x - 4)) = 1$

Этап 1.2

Развернем $(x + 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x (x - 4) + 4 (x - 4)) = 1$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) = 1$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) = 1$

Этап 1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 4$ и $4 x$ .

$\log_{2} (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) = 1$

Этап 1.3.1.2

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$\log_{2} (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) = 1$

Этап 1.3.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\log_{2} (x \cdot x + 4 \cdot - 4) = 1$

Этап 1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 4 \cdot - 4) = 1$

Этап 1.3.2.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$\log_{2} (x^{2} - 16) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log_{2} (x^{2} - 16) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{1} = x^{2} - 16$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 16 = 2^{1}$ .

$x^{2} - 16 = 2$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2 + 16$

Этап 3.2.2

Добавим $2$ и $16$ .

$x^{2} = 18$

Этап 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{18}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{18}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$x = \pm \sqrt{9 (2)}$

Этап 3.4.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Этап 3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 \sqrt{2}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 \sqrt{2}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x - 4) = 1$ истинным.

$x = 3 \sqrt{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 3 \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$x = 4.24264068 \dots$