Математический анализ Примеры

$\sqrt{3 x + 2} + \sqrt{x + 7} = 1$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{x + 7}$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3 x + 2} = 1 - \sqrt{x + 7}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 x + 2}}^{2} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x + 2}$ в виде ${(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 x + 2)}^{1} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$3 x + 2 = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{x + 7}) (1 - \sqrt{x + 7})$ .

$3 x + 2 = (1 - \sqrt{x + 7}) (1 - \sqrt{x + 7})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(1 - \sqrt{x + 7}) (1 - \sqrt{x + 7})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 2 = 1 (1 - \sqrt{x + 7}) - \sqrt{x + 7} (1 - \sqrt{x + 7})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 2 = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{x + 7}) - \sqrt{x + 7} (1 - \sqrt{x + 7})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 2 = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{x + 7}) - \sqrt{x + 7} \cdot 1 - \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$3 x + 2 = 1 + 1 (- \sqrt{x + 7}) - \sqrt{x + 7} \cdot 1 - \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- \sqrt{x + 7}$ на $1$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} \cdot 1 - \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + 1 \sqrt{x + 7} \sqrt{x + 7}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{x + 7}$ на $1$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + \sqrt{x + 7} \sqrt{x + 7}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{x + 7}$ в степень $1$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {\sqrt{x + 7}}^{1} \sqrt{x + 7}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{x + 7}$ в степень $1$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {\sqrt{x + 7}}^{1} {\sqrt{x + 7}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {\sqrt{x + 7}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {\sqrt{x + 7}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{x + 7}}^{2}$ в виде $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 7}$ в виде ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {(x + 7)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + x + 7$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $1$ и $7$ .

$3 x + 2 = 8 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + x$

Этап 3.3.1.3.3

Вычтем $\sqrt{x + 7}$ из $- \sqrt{x + 7}$ .

$3 x + 2 = 8 - 2 \sqrt{x + 7} + x$

Этап 4

Решим относительно $- 2 \sqrt{x + 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $8 - 2 \sqrt{x + 7} + x = 3 x + 2$ .

$8 - 2 \sqrt{x + 7} + x = 3 x + 2$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $- 2 \sqrt{x + 7}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sqrt{x + 7} + x = 3 x + 2 - 8$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sqrt{x + 7} = 3 x + 2 - 8 - x$

Этап 4.2.3

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$- 2 \sqrt{x + 7} = 2 x + 2 - 8$

Этап 4.2.4

Вычтем $8$ из $2$ .

$- 2 \sqrt{x + 7} = 2 x - 6$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 2 \sqrt{x + 7})}^{2} = {(2 x - 6)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 7}$ в виде ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(- 2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $- 2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2)}^{2} {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$4 {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x + 7)}^{1} = {(2 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$4 (x + 7) = {(2 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot 7 = {(2 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $4$ на $7$ .

$4 x + 28 = {(2 x - 6)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(2 x - 6)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(2 x - 6)}^{2}$ в виде $(2 x - 6) (2 x - 6)$ .

$4 x + 28 = (2 x - 6) (2 x - 6)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(2 x - 6) (2 x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 28 = 2 x (2 x - 6) - 6 (2 x - 6)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 28 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x - 6)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 28 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x + 28 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$4 x + 28 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x + 28 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + 28 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 6$ на $2$ .

$4 x + 28 = 4 x^{2} - 12 x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 6$ .

$4 x + 28 = 4 x^{2} - 12 x - 12 x - 6 \cdot - 6$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$4 x + 28 = 4 x^{2} - 12 x - 12 x + 36$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $12 x$ из $- 12 x$ .

$4 x + 28 = 4 x^{2} - 24 x + 36$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} - 24 x + 36 = 4 x + 28$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x = 28$

Этап 7.2.2

Вычтем $4 x$ из $- 24 x$ .

$4 x^{2} - 28 x + 36 = 28$

Этап 7.3

Вычтем $28$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 28 x + 36 - 28 = 0$

Этап 7.4

Вычтем $28$ из $36$ .

$4 x^{2} - 28 x + 8 = 0$

Этап 7.5

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 28 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 28 x + 8 = 0$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $4$ из $- 28 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 7 x) + 8 = 0$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$4 x^{2} + 4 (- 7 x) + 4 \cdot 2 = 0$

Этап 7.5.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 (- 7 x)$ .

$4 (x^{2} - 7 x) + 4 \cdot 2 = 0$

Этап 7.5.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} - 7 x) + 4 \cdot 2$ .

$4 (x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Этап 7.6

Разделим каждый член $4 (x^{2} - 7 x + 2) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Разделим каждый член $4 (x^{2} - 7 x + 2) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 7 x + 2)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 7.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x^{2} - 7 x + 2)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 7.6.2.1.2

Разделим $x^{2} - 7 x + 2$ на $1$ .

$x^{2} - 7 x + 2 = \frac{0}{4}$

Этап 7.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Этап 7.7

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.8

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 7$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9.1.3

Вычтем $8$ из $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2}$

Этап 7.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{7 + \sqrt{41}}{2}, \frac{7 - \sqrt{41}}{2}$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{3 x + 2} + \sqrt{x + 7} = 1$ истинным.

$Нет решения$