Математический анализ Примеры

$\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 6, 2, 6, 6 - x$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 1.5

У $6$ есть множители: $2$ и $3$ .

$2 \cdot 3$

Этап 1.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.7

НОК $1, 2, 6, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 3$

Этап 1.8

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 1.9

Множителем $x - 6$ является само значение $x - 6$ .

$(x - 6) = x - 6$

$(x - 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.10

Множителем $6 - x$ является само значение $6 - x$ .

$(6 - x) = 6 - x$

$(6 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.11

НОК $x - 6, 6 - x$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 6) (6 - x)$

Этап 1.12

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$6 (x - 6) (6 - x)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$ умножим на $6 (x - 6) (6 - x)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$ на $6 (x - 6) (6 - x)$ .

$\frac{x}{x - 6} (6 (x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 \frac{x}{x - 6} ((x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.2

Объединим $6$ и $\frac{x}{x - 6}$ .

$\frac{6 x}{x - 6} ((x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{x - 6} ((x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$6 x (6 - x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x \cdot 6 + 6 x (- x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.5

Умножим $6$ на $6$ .

$36 x + 6 x (- x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 x + 6 \cdot - 1 x \cdot x - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1.1

Перенесем $x$ .

$36 x + 6 \cdot - 1 (x \cdot x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.7.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$36 x + 6 \cdot - 1 x^{2} - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.7.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$36 x - 6 x^{2} + \frac{- 1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $6 (x - 6) (6 - x)$ .

$36 x - 6 x^{2} + \frac{- 1}{2} (2 (3 (x - 6) (6 - x))) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$36 x - 6 x^{2} + \frac{- 1}{2} (2 (3 (x - 6) (6 - x))) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$36 x - 6 x^{2} - (3 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.9

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 (- 1 (- x) - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.10

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 (- 1 (- x) - 1 (6)) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - 1 (6)$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 (- 1 (- x + 6)) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.12

Изменим порядок членов.

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 (- x + 6) (- x + 6)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.13

Возведем $- x + 6$ в степень $1$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 ({(- x + 6)}^{1} (- x + 6))) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.14

Возведем $- x + 6$ в степень $1$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 ({(- x + 6)}^{1} {(- x + 6)}^{1})) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 {(- x + 6)}^{1 + 1}) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.16

Добавим $1$ и $1$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 {(- x + 6)}^{2}) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.17

Умножим $3$ на $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} - (- 3 {(- x + 6)}^{2}) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.2.1.18

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 6 \frac{x}{6} ((x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 6 \frac{x}{6} ((x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x ((x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.3

Развернем $(x - 6) (6 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (x (6 - x) - 6 (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (x \cdot 6 + x (- x) - 6 (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (x \cdot 6 + x (- x) - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1.1

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 \cdot x + x (- x) - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x \cdot x - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.4.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1.3.1

Перенесем $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - (x \cdot x) - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.4.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x^{2} - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.4.1.4

Умножим $- 6$ на $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x^{2} - 36 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.4.1.5

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x^{2} - 36 + 6 x) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.4.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (12 x - x^{2} - 36) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (12 x) + x (- x^{2}) + x \cdot - 36 + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x \cdot x + x (- x^{2}) + x \cdot - 36 + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x \cdot x - x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.6.3

Перенесем $- 36$ влево от $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x \cdot x - x \cdot x^{2} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1.1

Перенесем $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.7.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x \cdot x^{2} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.7.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - (x^{2} x) - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.7.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - (x^{2} x^{1}) - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{2 + 1} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.7.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 \frac{x + 6}{6 - x} ((x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.9

Объединим $6$ и $\frac{x + 6}{6 - x}$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{6 (x + 6)}{6 - x} ((x - 6) (6 - x))$

Этап 2.3.1.10

Сократим общий множитель $6 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.10.1

Вынесем множитель $6 - x$ из $(x - 6) (6 - x)$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{6 (x + 6)}{6 - x} ((6 - x) (x - 6))$

Этап 2.3.1.10.2

Сократим общий множитель.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{6 (x + 6)}{6 - x} ((6 - x) (x - 6))$

Этап 2.3.1.10.3

Перепишем это выражение.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 (x + 6) (x - 6)$

Этап 2.3.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + (6 x + 6 \cdot 6) (x - 6)$

Этап 2.3.1.12

Умножим $6$ на $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + (6 x + 36) (x - 6)$

Этап 2.3.1.13

Развернем $(6 x + 36) (x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x (x - 6) + 36 (x - 6)$

Этап 2.3.1.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 6 + 36 (x - 6)$

Этап 2.3.1.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 6 + 36 x + 36 \cdot - 6$

Этап 2.3.1.14

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.14.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.14.1.1.1

Перенесем $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 6 + 36 x + 36 \cdot - 6$

Этап 2.3.1.14.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} + 6 x \cdot - 6 + 36 x + 36 \cdot - 6$

Этап 2.3.1.14.1.2

Умножим $- 6$ на $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 36 x + 36 x + 36 \cdot - 6$

Этап 2.3.1.14.1.3

Умножим $36$ на $- 6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 36 x + 36 x - 216$

Этап 2.3.1.14.2

Добавим $- 36 x$ и $36 x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} + 0 - 216$

Этап 2.3.1.14.3

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 216$

Этап 2.3.2

Добавим $12 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 18 x^{2} - x^{3} - 36 x - 216$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $18 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} - 18 x^{2} = - x^{3} - 36 x - 216$

Этап 3.1.2

Добавим $x^{3}$ к обеим частям уравнения.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} - 18 x^{2} + x^{3} = - 36 x - 216$

Этап 3.1.3

Добавим $36 x$ к обеим частям уравнения.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Перепишем ${(- x + 6)}^{2}$ в виде $(- x + 6) (- x + 6)$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 ((- x + 6) (- x + 6)) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.2

Развернем $(- x + 6) (- x + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- x (- x + 6) + 6 (- x + 6)) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- x (- x) - x \cdot 6 + 6 (- x + 6)) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- x (- x) - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (1 x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.3.1.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 6 x + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.3.1.6

Умножим $- 1$ на $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 6 x - 6 x + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.3.1.7

Умножим $6$ на $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 12 x + 36) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} + 3 (- 12 x) + 3 \cdot 36 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.5.1

Умножим $- 12$ на $3$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} - 36 x + 3 \cdot 36 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.4.5.2

Умножим $3$ на $36$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} - 36 x + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.5

Объединим противоположные члены в $36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} - 36 x + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Вычтем $36 x$ из $36 x$ .

$- 6 x^{2} + 3 x^{2} + 0 + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.5.2

Добавим $- 6 x^{2} + 3 x^{2}$ и $0$ .

$- 6 x^{2} + 3 x^{2} + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.6

Добавим $- 6 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.1.7

Вычтем $18 x^{2}$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 21 x^{2} + 108 + x^{3} + 36 x = - 216$

Этап 3.2

Добавим $216$ к обеим частям уравнения.

$- 21 x^{2} + 108 + x^{3} + 36 x + 216 = 0$

Этап 3.3

Добавим $108$ и $216$ .

$- 21 x^{2} + x^{3} + 36 x + 324 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок членов.

$x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324 = 0$

Этап 3.4.2

Разложим $x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 324, \pm 2, \pm 162, \pm 3, \pm 108, \pm 4, \pm 81, \pm 6, \pm 54, \pm 9, \pm 36, \pm 12, \pm 27, \pm 18$

$q = \pm 1$

Этап 3.4.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 324, \pm 2, \pm 162, \pm 3, \pm 108, \pm 4, \pm 81, \pm 6, \pm 54, \pm 9, \pm 36, \pm 12, \pm 27, \pm 18$

Этап 3.4.2.3

Подставим $- 3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Подставим $- 3$ в многочлен.

${(- 3)}^{3} - 21 {(- 3)}^{2} + 36 \cdot - 3 + 324$

Этап 3.4.2.3.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- 27 - 21 {(- 3)}^{2} + 36 \cdot - 3 + 324$

Этап 3.4.2.3.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 27 - 21 \cdot 9 + 36 \cdot - 3 + 324$

Этап 3.4.2.3.4

Умножим $- 21$ на $9$ .

$- 27 - 189 + 36 \cdot - 3 + 324$

Этап 3.4.2.3.5

Вычтем $189$ из $- 27$ .

$- 216 + 36 \cdot - 3 + 324$

Этап 3.4.2.3.6

Умножим $36$ на $- 3$ .

$- 216 - 108 + 324$

Этап 3.4.2.3.7

Вычтем $108$ из $- 216$ .

$- 324 + 324$

Этап 3.4.2.3.8

Добавим $- 324$ и $324$ .

$0$

Этап 3.4.2.4

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324}{x + 3}$

Этап 3.4.2.5

Разделим $x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324$ на $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$21 x^{2}$

$36 x$

$324$

Этап 3.4.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$

Этап 3.4.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 3.4.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 3.4.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

Этап 3.4.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$

Этап 3.4.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 24 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$

Этап 3.4.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$72 x$

Этап 3.4.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 24 x^{2} - 72 x$ .

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$

Этап 3.4.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$

Этап 3.4.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$

Этап 3.4.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $108 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$

Этап 3.4.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$
							+	$108 x$	+	$324$

Этап 3.4.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $108 x + 324$ .

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$
							-	$108 x$	-	$324$

Этап 3.4.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$
							-	$108 x$	-	$324$
										$0$

Этап 3.4.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 24 x + 108$

Этап 3.4.2.6

Запишем $x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324$ в виде набора множителей.

$(x + 3) (x^{2} - 24 x + 108) = 0$

Этап 3.4.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разложим $x^{2} - 24 x + 108$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $108$ , а сумма — $- 24$ .

$- 18, - 6$

Этап 3.4.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 3) ((x - 18) (x - 6)) = 0$

Этап 3.4.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 3) (x - 18) (x - 6) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 18 = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.7

Приравняем $x - 18$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 18$ к $0$ .

$x - 18 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$x = 18$

Этап 3.8

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.8.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 18) (x - 6) = 0$ верно.

$x = - 3, 18, 6$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$ истинным.

$x = - 3, 18$