Математический анализ Примеры

$\frac{x}{4} + 2 \sqrt{x} + 15 = x$

Этап 1

Перенесем все члены без $2 \sqrt{x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{x}{4}$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{x} + 15 = x - \frac{x}{4}$

Этап 1.2

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{x} = x - \frac{x}{4} - 15$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{1} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Упростим.

$4 x = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$4 x = {(x \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Этап 3.3.1.2

Объединим $x$ и $\frac{4}{4}$ .

$4 x = {(\frac{x \cdot 4}{4} - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Этап 3.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = {(\frac{x \cdot 4 - x}{4} - 15)}^{2}$

Этап 3.3.1.4

Вычтем $x$ из $x \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Изменим порядок $x$ и $4$ .

$4 x = {(\frac{4 \cdot x - x}{4} - 15)}^{2}$

Этап 3.3.1.4.2

Вычтем $x$ из $4 \cdot x$ .

$4 x = {(\frac{3 \cdot x}{4} - 15)}^{2}$

Этап 3.3.1.5

Перепишем ${(\frac{3 x}{4} - 15)}^{2}$ в виде $(\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$ .

$4 x = (\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$

Этап 3.3.1.6

Развернем $(\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x = \frac{3 x}{4} (\frac{3 x}{4} - 15) - 15 (\frac{3 x}{4} - 15)$

Этап 3.3.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x = \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 (\frac{3 x}{4} - 15)$

Этап 3.3.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x = \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Этап 3.3.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1.1

Умножим $\frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1.1.1

Умножим $\frac{3 x}{4}$ на $\frac{3 x}{4}$ .

$4 x = \frac{3 x (3 x)}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Этап 3.3.1.7.1.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$4 x = \frac{9 x \cdot x}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Этап 3.3.1.7.1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x = \frac{9 (x^{1} x)}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Этап 3.3.1.7.1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x = \frac{9 (x^{1} x^{1})}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Этап 3.3.1.7.1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x = \frac{9 x^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Этап 3.3.1.7.1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Этап 3.3.1.7.1.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Этап 3.3.1.7.1.2

Умножим $\frac{3 x}{4} \cdot - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1.2.1

Объединим $\frac{3 x}{4}$ и $- 15$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{3 x \cdot - 15}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Этап 3.3.1.7.1.2.2

Умножим $- 15$ на $3$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Этап 3.3.1.7.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Этап 3.3.1.7.1.4

Умножим $- 15 \frac{3 x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1.4.1

Объединим $- 15$ и $\frac{3 x}{4}$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} + \frac{- 15 (3 x)}{4} - 15 \cdot - 15$

Этап 3.3.1.7.1.4.2

Умножим $3$ на $- 15$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} + \frac{- 45 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Этап 3.3.1.7.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - \frac{45 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Этап 3.3.1.7.1.6

Умножим $- 15$ на $- 15$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - \frac{45 x}{4} + 225$

Этап 3.3.1.7.2

Вычтем $\frac{45 x}{4}$ из $- \frac{45 x}{4}$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - 2 \frac{45 x}{4} + 225$

Этап 3.3.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.8.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 (- 1) \frac{45 x}{4} + 225$

Этап 3.3.1.8.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{45 x}{2 \cdot 2} + 225$

Этап 3.3.1.8.1.3

Сократим общий множитель.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{45 x}{2 \cdot 2} + 225$

Этап 3.3.1.8.1.4

Перепишем это выражение.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - 1 \frac{45 x}{2} + 225$

Этап 3.3.1.8.2

Перепишем $- 1 \frac{45 x}{2}$ в виде $- \frac{45 x}{2}$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225 = 4 x$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225 - 4 x = 0$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $- 4 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} - 4 x \cdot \frac{2}{2} + 225 = 0$

Этап 4.2.3

Объединим $- 4 x$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2}{2} + 225 = 0$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2} + 225 = 0$

Этап 4.2.5

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $\frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2} \cdot \frac{8}{8} + 225 = 0$

Этап 4.2.5.2

Умножим $\frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + 225 = 0$

Этап 4.2.5.3

Запишем $225$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225}{1} = 0$

Этап 4.2.5.4

Умножим $\frac{225}{1}$ на $\frac{16}{16}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225}{1} \cdot \frac{16}{16} = 0$

Этап 4.2.5.5

Умножим $\frac{225}{1}$ на $\frac{16}{16}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225 \cdot 16}{16} = 0$

Этап 4.2.5.6

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{16} + \frac{225 \cdot 16}{16} = 0$

Этап 4.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 x^{2} + (- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Этап 4.2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{9 x^{2} + (- 45 x - 8 x) \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Этап 4.2.7.2

Вычтем $8 x$ из $- 45 x$ .

$\frac{9 x^{2} - 53 x \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Этап 4.2.7.3

Умножим $8$ на $- 53$ .

$\frac{9 x^{2} - 424 x + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Этап 4.2.7.4

Умножим $225$ на $16$ .

$\frac{9 x^{2} - 424 x + 3600}{16} = 0$

Этап 4.2.8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 3600 = 32400$ , а сумма — $b = - 424$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1.1

Вынесем множитель $- 424$ из $- 424 x$ .

$\frac{9 x^{2} - 424 (x) + 3600}{16} = 0$

Этап 4.2.8.1.2

Запишем $- 424$ как $- 100$ плюс $- 324$

$\frac{9 x^{2} + (- 100 - 324) x + 3600}{16} = 0$

Этап 4.2.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 x^{2} - 100 x - 324 x + 3600}{16} = 0$

Этап 4.2.8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(9 x^{2} - 100 x) - 324 x + 3600}{16} = 0$

Этап 4.2.8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (9 x - 100) - 36 (9 x - 100)}{16} = 0$

Этап 4.2.8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 x - 100$ .

$\frac{(9 x - 100) (x - 36)}{16} = 0$

Этап 4.3

Приравняем числитель к нулю.

$(9 x - 100) (x - 36) = 0$

Этап 4.4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 x - 100 = 0$

$x - 36 = 0$

Этап 4.4.2

Приравняем $9 x - 100$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Приравняем $9 x - 100$ к $0$ .

$9 x - 100 = 0$

Этап 4.4.2.2

Решим $9 x - 100 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Добавим $100$ к обеим частям уравнения.

$9 x = 100$

Этап 4.4.2.2.2

Разделим каждый член $9 x = 100$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = 100$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{100}{9}$

Этап 4.4.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{100}{9}$

Этап 4.4.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{100}{9}$

Этап 4.4.3

Приравняем $x - 36$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Приравняем $x - 36$ к $0$ .

$x - 36 = 0$

Этап 4.4.3.2

Добавим $36$ к обеим частям уравнения.

$x = 36$

Этап 4.4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(9 x - 100) (x - 36) = 0$ верно.

$x = \frac{100}{9}, 36$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{4} + 2 \sqrt{x} + 15 = x$ истинным.

$x = 36$