Математический анализ Примеры

$\sec^{2} (x) + \tan (x) - 3 = 0$

Этап 1

Заменим $\sec^{2} (x)$ на $1 + \tan^{2} (x)$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + \tan (x) - 3 = 0$

Этап 2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\tan^{2} (x) + \tan (x) - 2 = 0$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Этап 4

Разложим $u^{2} + u - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Этап 6

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 7

Приравняем $u + 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $u + 2$ к $0$ .

$u + 2 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$u = - 2$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 1) (u + 2) = 0$ верно.

$u = 1, - 2$

Этап 9

Подставим $\tan (x)$ вместо $u$ .

$\tan (x) = 1, - 2$

Этап 10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = - 2$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 11.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 11.4

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 11.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 11.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 11.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 11.4.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 11.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 11.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 11.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 2)$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $\arctan (- 2)$ .

$x = - 1.10714871$

Этап 12.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

Этап 12.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Добавим $2 π$ к $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 12.4.2

Результирующий угол $2.03444393$ является положительным и отличается от $- 1.10714871 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 2.03444393$

Этап 12.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 12.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 12.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 12.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 12.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Добавим $π$ к $- 1.10714871$ , чтобы найти положительный угол.

$- 1.10714871 + π$

Этап 12.6.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 1.10714871$

Этап 12.6.3

Вычтем $1.10714871$ из $3.14159265$ .

$2.03444393$

Этап 12.6.4

Перечислим новые углы.

$x = 2.03444393$

Этап 12.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{π}{4} + π n$ и $\frac{5 π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 14.2

Объединим $2.03444393 + π n$ и $2.03444393 + π n$ в $2.03444393 + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, 2.03444393 + π n$ , для любого целого $n$