Математический анализ Примеры

$\int \csc (4 x) d x$

Этап 1

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \csc (u) \frac{1}{4} d u$

Этап 2

Объединим $\csc (u)$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\csc (u)}{4} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \csc (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\csc (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| \csc (u) - \cot (u) |) + C)$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{4} \ln (| \csc (u) - \cot (u) |) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\frac{1}{4} \ln (| \csc (4 x) - \cot (4 x) |) + C$