Математический анализ Примеры

$\int (x + 1) e^{7 x^{2} + 14 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 7 x^{2} + 14 x$ . Тогда $d u = (14 x + 14) d x$ , следовательно $\frac{1}{14} d u = (x + 1) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 7 x^{2} + 14 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $7 x^{2} + 14 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 14 x]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $7 x^{2} + 14 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [14 x]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 14 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$14 x + 14 \cdot 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $14$ на $1$ .

$14 x + 14$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{14} d u$

Этап 2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{e^{u}}{14} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{14}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{14}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{14} \int e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{14} (e^{u} + C)$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{14} e^{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $7 x^{2} + 14 x$ .

$\frac{1}{14} e^{7 x^{2} + 14 x} + C$