Математический анализ Примеры

$0 = \frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2})$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2}) = 0$ .

$\frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2}) = 0$

Этап 2

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$

Этап 3

Разделим каждый член $π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$ на $π$ .

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $\cos (\frac{π x}{2})$ на $1$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $π$ из $- π$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{1}{2}$

Этап 4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{π x}{2} = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Этап 6

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 7

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 7.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 7.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 7.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 7.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Этап 7.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Этап 7.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = 2 (\frac{2}{3})$

Этап 7.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 8

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 9.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Упростим $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 9.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 9.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 9.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 9.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 9.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Упростим $\frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Этап 9.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Этап 9.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 9.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 9.2.2.1.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{4 π}{3}$

Этап 9.2.2.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

Этап 9.2.2.1.4.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

Этап 9.2.2.1.4.1.3

Перепишем это выражение.

$x = 2 (\frac{4}{3})$

Этап 9.2.2.1.4.2

Объединим $2$ и $\frac{4}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{3}$

Этап 9.2.2.1.4.3

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{8}{3}$

Этап 10

Найдем период $\cos (\frac{π x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Этап 10.3

$\frac{π}{2}$ приблизительно равно $1.57079632$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Этап 10.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{2}{π}$

Этап 10.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 10.5.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 10.5.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2$

Этап 10.6

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 11

Период функции $\cos (\frac{π x}{2})$ равен $4$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{4}{3} + 4 n, \frac{8}{3} + 4 n$ , для любого целого $n$