Математический анализ Примеры

$\frac{u + 3}{4 u + 7} = 1 + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 u + 7, 1, 5 u - 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $4 u + 7$ является само значение $4 u + 7$ .

$(4 u + 7) = 4 u + 7$

$(4 u + 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $5 u - 1$ является само значение $5 u - 1$ .

$(5 u - 1) = 5 u - 1$

$(5 u - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $4 u + 7, 5 u - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(4 u + 7) (5 u - 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{u + 3}{4 u + 7} = 1 + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1}$ умножим на $(4 u + 7) (5 u - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{u + 3}{4 u + 7} = 1 + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1}$ на $(4 u + 7) (5 u - 1)$ .

$\frac{u + 3}{4 u + 7} ((4 u + 7) (5 u - 1)) = 1 ((4 u + 7) (5 u - 1)) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $4 u + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u + 3}{4 u + 7} ((4 u + 7) (5 u - 1)) = 1 ((4 u + 7) (5 u - 1)) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$(u + 3) (5 u - 1) = 1 ((4 u + 7) (5 u - 1)) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.2.2

Развернем $(u + 3) (5 u - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$u (5 u - 1) + 3 (5 u - 1) = 1 ((4 u + 7) (5 u - 1)) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$u (5 u) + u \cdot - 1 + 3 (5 u - 1) = 1 ((4 u + 7) (5 u - 1)) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u (5 u) + u \cdot - 1 + 3 (5 u) + 3 \cdot - 1 = 1 ((4 u + 7) (5 u - 1)) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 u \cdot u + u \cdot - 1 + 3 (5 u) + 3 \cdot - 1 = 1 ((4 u + 7) (5 u - 1)) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Перенесем $u$ .

$5 (u \cdot u) + u \cdot - 1 + 3 (5 u) + 3 \cdot - 1 = 1 ((4 u + 7) (5 u - 1)) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.2.3.1.2.2

Умножим $u$ на $u$ .

$5 u^{2} + u \cdot - 1 + 3 (5 u) + 3 \cdot - 1 = 1 ((4 u + 7) (5 u - 1)) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.2.3.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $u$ .

$5 u^{2} - 1 \cdot u + 3 (5 u) + 3 \cdot - 1 = 1 ((4 u + 7) (5 u - 1)) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.2.3.1.4

Перепишем $- 1 u$ в виде $- u$ .

$5 u^{2} - u + 3 (5 u) + 3 \cdot - 1 = 1 ((4 u + 7) (5 u - 1)) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.2.3.1.5

Умножим $5$ на $3$ .

$5 u^{2} - u + 15 u + 3 \cdot - 1 = 1 ((4 u + 7) (5 u - 1)) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.2.3.1.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$5 u^{2} - u + 15 u - 3 = 1 ((4 u + 7) (5 u - 1)) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.2.3.2

Добавим $- u$ и $15 u$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 1 ((4 u + 7) (5 u - 1)) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $(4 u + 7) (5 u - 1)$ на $1$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = (4 u + 7) (5 u - 1) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(4 u + 7) (5 u - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 4 u (5 u - 1) + 7 (5 u - 1) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 4 u (5 u) + 4 u \cdot - 1 + 7 (5 u - 1) + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 4 u (5 u) + 4 u \cdot - 1 + 7 (5 u) + 7 \cdot - 1 + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 4 \cdot 5 u \cdot u + 4 u \cdot - 1 + 7 (5 u) + 7 \cdot - 1 + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

Перенесем $u$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 4 \cdot 5 (u \cdot u) + 4 u \cdot - 1 + 7 (5 u) + 7 \cdot - 1 + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Умножим $u$ на $u$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 4 \cdot 5 u^{2} + 4 u \cdot - 1 + 7 (5 u) + 7 \cdot - 1 + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $4$ на $5$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 4 u \cdot - 1 + 7 (5 u) + 7 \cdot - 1 + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} - 4 u + 7 (5 u) + 7 \cdot - 1 + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $5$ на $7$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} - 4 u + 35 u + 7 \cdot - 1 + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.3.1.3.1.6

Умножим $7$ на $- 1$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} - 4 u + 35 u - 7 + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $- 4 u$ и $35 u$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((4 u + 7) (5 u - 1))$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $5 u - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Вынесем множитель $5 u - 1$ из $(4 u + 7) (5 u - 1)$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((5 u - 1) (4 u + 7))$

Этап 2.3.1.4.2

Сократим общий множитель.

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + \frac{2 (1 - 2 u)}{5 u - 1} ((5 u - 1) (4 u + 7))$

Этап 2.3.1.4.3

Перепишем это выражение.

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + 2 (1 - 2 u) (4 u + 7)$

Этап 2.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + (2 \cdot 1 + 2 (- 2 u)) (4 u + 7)$

Этап 2.3.1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + (2 + 2 (- 2 u)) (4 u + 7)$

Этап 2.3.1.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + (2 - 4 u) (4 u + 7)$

Этап 2.3.1.8

Развернем $(2 - 4 u) (4 u + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + 2 (4 u + 7) - 4 u (4 u + 7)$

Этап 2.3.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + 2 (4 u) + 2 \cdot 7 - 4 u (4 u + 7)$

Этап 2.3.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + 2 (4 u) + 2 \cdot 7 - 4 u (4 u) - 4 u \cdot 7$

Этап 2.3.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.9.1.1

Умножим $4$ на $2$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + 8 u + 2 \cdot 7 - 4 u (4 u) - 4 u \cdot 7$

Этап 2.3.1.9.1.2

Умножим $2$ на $7$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + 8 u + 14 - 4 u (4 u) - 4 u \cdot 7$

Этап 2.3.1.9.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + 8 u + 14 - 4 \cdot 4 u \cdot u - 4 u \cdot 7$

Этап 2.3.1.9.1.4

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.9.1.4.1

Перенесем $u$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + 8 u + 14 - 4 \cdot 4 (u \cdot u) - 4 u \cdot 7$

Этап 2.3.1.9.1.4.2

Умножим $u$ на $u$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + 8 u + 14 - 4 \cdot 4 u^{2} - 4 u \cdot 7$

Этап 2.3.1.9.1.5

Умножим $- 4$ на $4$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + 8 u + 14 - 16 u^{2} - 4 u \cdot 7$

Этап 2.3.1.9.1.6

Умножим $7$ на $- 4$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 + 8 u + 14 - 16 u^{2} - 28 u$

Этап 2.3.1.9.2

Вычтем $28 u$ из $8 u$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 20 u^{2} + 31 u - 7 - 20 u + 14 - 16 u^{2}$

Этап 2.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $16 u^{2}$ из $20 u^{2}$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 4 u^{2} + 31 u - 7 - 20 u + 14$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $20 u$ из $31 u$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 4 u^{2} + 11 u - 7 + 14$

Этап 2.3.2.3

Добавим $- 7$ и $14$ .

$5 u^{2} + 14 u - 3 = 4 u^{2} + 11 u + 7$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $u$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $4 u^{2}$ из обеих частей уравнения.

$5 u^{2} + 14 u - 3 - 4 u^{2} = 11 u + 7$

Этап 3.1.2

Вычтем $11 u$ из обеих частей уравнения.

$5 u^{2} + 14 u - 3 - 4 u^{2} - 11 u = 7$

Этап 3.1.3

Вычтем $4 u^{2}$ из $5 u^{2}$ .

$u^{2} + 14 u - 3 - 11 u = 7$

Этап 3.1.4

Вычтем $11 u$ из $14 u$ .

$u^{2} + 3 u - 3 = 7$

Этап 3.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 3 u - 3 - 7 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $7$ из $- 3$ .

$u^{2} + 3 u - 10 = 0$

Этап 3.4

Разложим $u^{2} + 3 u - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $3$ .

$- 2, 5$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 5) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 5 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 3.7

Приравняем $u + 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $u + 5$ к $0$ .

$u + 5 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$u = - 5$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 2) (u + 5) = 0$ верно.

$u = 2, - 5$