Математический анализ Примеры

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} = \frac{1}{2}$

Этап 1

Умножим обе части на $1 + a e^{- k t}$ .

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $1 + a e^{- k t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $\frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

Этап 2.2.1.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

Этап 2.2.1.3

Умножим $\frac{1}{2} (a e^{- k t})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Объединим $a$ и $\frac{1}{2}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a}{2} e^{- k t}$

Этап 2.2.1.3.2

Объединим $\frac{a}{2}$ и $e^{- k t}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a e^{- k t}}{2}$

Этап 2.2.1.4

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $\frac{a e^{- k t}}{2}$ .

$1 = \frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

$\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $t$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = 1 - \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2 - 1}{2}$

Этап 3.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$a e^{- k t} = 1$

Этап 3.4

Разделим каждый член $a e^{- k t} = 1$ на $a$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $a e^{- k t} = 1$ на $a$ .

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $e^{- k t}$ на $1$ .

$e^{- k t} = \frac{1}{a}$

Этап 3.5

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- k t}) = \ln (\frac{1}{a})$

Этап 3.6

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Развернем $\ln (e^{- k t})$ , вынося $- k t$ из логарифма.

$- k t \ln (e) = \ln (\frac{1}{a})$

Этап 3.6.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- k t \cdot 1 = \ln (\frac{1}{a})$

Этап 3.6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- k t = \ln (\frac{1}{a})$

Этап 3.7

Разделим каждый член $- k t = \ln (\frac{1}{a})$ на $- k$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Разделим каждый член $- k t = \ln (\frac{1}{a})$ на $- k$ .

$\frac{- k t}{- k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Этап 3.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Этап 3.7.2.2

Сократим общий множитель $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Этап 3.7.2.2.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Этап 3.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{\ln (\frac{1}{a})}{k}$