Математический анализ Примеры

$5 L = 20480 \cdot \frac{L^{4}}{4096^{2}}$

Этап 1

Упростим $20480 \cdot \frac{L^{4}}{4096^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возведем $4096$ в степень $2$ .

$5 L = 20480 \cdot \frac{L^{4}}{16777216}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $4096$ из $20480$ .

$5 L = 4096 (5) \cdot \frac{L^{4}}{16777216}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $4096$ из $16777216$ .

$5 L = 4096 \cdot 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096 \cdot 4096}$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель.

$5 L = 4096 \cdot 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096 \cdot 4096}$

Этап 1.2.4

Перепишем это выражение.

$5 L = 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096}$

$5 L = \frac{5 L^{4}}{4096}$

Этап 2

Вычтем $\frac{5 L^{4}}{4096}$ из обеих частей уравнения.

$5 L - \frac{5 L^{4}}{4096} = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $5 L$ из $5 L - \frac{5 L^{4}}{4096}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $5 L$ из $5 L$ .

$5 L (1) - \frac{5 L^{4}}{4096} = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $5 L$ из $- \frac{5 L^{4}}{4096}$ .

$5 L (1) + 5 L (- \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $5 L$ из $5 L (1) + 5 L (- \frac{L^{3}}{4096})$ .

$5 L (1 - \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Этап 3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$5 L (1^{3} - \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{L^{3}}{4096}$ в виде ${(\frac{L}{16})}^{3}$ .

$5 L (1^{3} - {(\frac{L}{16})}^{3}) = 0$

Этап 3.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = \frac{L}{16}$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1^{2} + 1 (\frac{L}{16}) + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Этап 3.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + 1 (\frac{L}{16}) + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Этап 3.5.1.2

Умножим $\frac{L}{16}$ на $1$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Этап 3.5.1.3

Применим правило умножения к $\frac{L}{16}$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{16^{2}})) = 0$

Этап 3.5.1.4

Возведем $16$ в степень $2$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256})) = 0$

Этап 3.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$5 L (1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$L = 0$

$1 - \frac{L}{16} = 0$

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$

Этап 5

Приравняем $L$ к $0$ .

$L = 0$

Этап 6

Приравняем $1 - \frac{L}{16}$ к $0$ , затем решим относительно $L$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $1 - \frac{L}{16}$ к $0$ .

$1 - \frac{L}{16} = 0$

Этап 6.2

Решим $1 - \frac{L}{16} = 0$ относительно $L$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{L}{16} = - 1$

Этап 6.2.2

Умножим обе части уравнения на $- 16$ .

$- 16 (- \frac{L}{16}) = - 16 \cdot - 1$

Этап 6.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Упростим $- 16 (- \frac{L}{16})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{L}{16}$ в числитель.

$- 16 \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Этап 6.2.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $16$ из $- 16$ .

$16 (- 1) \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Этап 6.2.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$16 \cdot - 1 \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Этап 6.2.3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - L = - 16 \cdot - 1$

Этап 6.2.3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 L = - 16 \cdot - 1$

Этап 6.2.3.1.1.2.2

Умножим $L$ на $1$ .

$L = - 16 \cdot - 1$

Этап 6.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$L = 16$

Этап 7

Приравняем $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}$ к $0$ , затем решим относительно $L$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}$ к $0$ .

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$

Этап 7.2

Решим $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$ относительно $L$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $256$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$256 \cdot 1 + 256 (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Этап 7.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Умножим $256$ на $1$ .

$256 + 256 (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Этап 7.2.1.2.2

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $256$ .

$256 + 16 (16) (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Этап 7.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$256 + 16 \cdot (16 (\frac{L}{16})) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Этап 7.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$256 + 16 L + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Этап 7.2.1.2.3

Сократим общий множитель $256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$256 + 16 L + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Этап 7.2.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$256 + 16 L + L^{2} = 0$

Этап 7.2.1.3

Перенесем $256$ .

$16 L + L^{2} + 256 = 0$

Этап 7.2.1.4

Изменим порядок $16 L$ и $L^{2}$ .

$L^{2} + 16 L + 256 = 0$

Этап 7.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 16$ и $c = 256$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $L$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 256)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $256$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1024}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.4.1.3

Вычтем $1024$ из $256$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 768}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.4.1.4

Перепишем $- 768$ в виде $- 1 (768)$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 768}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (768)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.4.1.7

Перепишем $768$ в виде $16^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $256$ из $768$ .

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{256 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.4.1.7.2

Перепишем $256$ в виде $16^{2}$ .

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{16^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot (16 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.4.1.9

Перенесем $16$ влево от $i$ .

$L = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$L = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.2.4.3

Упростим $\frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$ .

$L = - 8 \pm 8 i \sqrt{3}$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$L = - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $5 L (1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}) = 0$ верно.

$L = 0, 16, - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$