Математический анализ Примеры

$x^{3} - 2 x^{2} y + 3 x y^{2} = 38$

Этап 1

Вычтем $38$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 2 x^{2} y + 3 x y^{2} - 38 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 3 x$ , $b = - 2 x^{2}$ и $c = x^{3} - 38$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 x \cdot (x^{3} - 38))}}{2 (3 x)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 (x \cdot (x^{3} - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.2

Пусть $u = 3 (x \cdot (x^{3} - 38))$ . Подставим $u$ вместо $3 (x \cdot (x^{3} - 38))$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим правило умножения к $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.2.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} - 4 u}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{4} - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{4}$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4}) - 4 u}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{4}) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - u)}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $3 (x \cdot (x^{3} - 38))$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x \cdot (x^{3} - 38))))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x \cdot x^{3} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.5.1.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.2.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x \cdot x^{3} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.5.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x^{1 + 3} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.5.1.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x^{4} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.5.1.3

Перенесем $- 38$ влево от $x$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x^{4} - 38 \cdot x)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.5.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 x^{4} + 3 (- 38 x)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.5.1.5

Умножим $- 38$ на $3$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 x^{4} - 114 x))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.5.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 x^{4}) - (- 114 x))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.5.1.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - 3 x^{4} - (- 114 x))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.5.1.8

Умножим $- 114$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - 3 x^{4} + 114 x)}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.5.2

Вычтем $3 x^{4}$ из $x^{4}$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (- 2 x^{4} + 114 x)}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.6

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{4} + 114 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{4}$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2 x (- x^{3}) + 114 x)}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.6.2

Вынесем множитель $2 x$ из $114 x$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2 x (- x^{3}) + 2 x (57))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.6.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- x^{3}) + 2 x (57)$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 \cdot (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.7

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{8 x (- x^{3} + 57)}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.8

Перепишем $8 x (- x^{3} + 57)$ в виде $2^{2} \cdot (2 x (- x^{3} + 57))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2) x (- x^{3} + 57)}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x (- x^{3} + 57)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 x^{2} \pm 2 \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{2 \cdot (3 x)}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm 2 \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{6 x}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{2 x^{2} \pm 2 \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{6 x}$ .

$y = \frac{x^{2} \pm \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{3 x}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{x^{2} + \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{3 x}$

$y = \frac{x^{2} - \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{3 x}$