Математический анализ Примеры

$\log_{8} (z - 6) = 2 - \log_{8} (z + 15)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{8} (z - 6) + \log_{8} (z + 15) = 2$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} ((z - 6) (z + 15)) = 2$

Этап 3

Развернем $(z - 6) (z + 15)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{8} (z (z + 15) - 6 (z + 15)) = 2$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{8} (z \cdot z + z \cdot 15 - 6 (z + 15)) = 2$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{8} (z \cdot z + z \cdot 15 - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $z$ на $z$ .

$\log_{8} (z^{2} + z \cdot 15 - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Этап 4.1.2

Перенесем $15$ влево от $z$ .

$\log_{8} (z^{2} + 15 \cdot z - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Этап 4.1.3

Умножим $- 6$ на $15$ .

$\log_{8} (z^{2} + 15 z - 6 z - 90) = 2$

Этап 4.2

Вычтем $6 z$ из $15 z$ .

$\log_{8} (z^{2} + 9 z - 90) = 2$

Этап 5

Перепишем $\log_{8} (z^{2} + 9 z - 90) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$8^{2} = z^{2} + 9 z - 90$

Этап 6

Решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $z^{2} + 9 z - 90 = 8^{2}$ .

$z^{2} + 9 z - 90 = 8^{2}$

Этап 6.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$z^{2} + 9 z - 90 = 64$

Этап 6.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$z^{2} + 9 z - 90 - 64 = 0$

Этап 6.3.2

Вычтем $64$ из $- 90$ .

$z^{2} + 9 z - 154 = 0$

Этап 6.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = 9$ и $c = - 154$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $z$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 154)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 154}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 154$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 154}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 154$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 616}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.3

Добавим $81$ и $616$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{697}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{697}}{2}$

Этап 6.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{697}}{2}$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\log_{8} (z - 6) = 2 - \log_{8} (z + 15)$ истинным.

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}$

Десятичная форма:

$z = 8.70037878 \dots$