Математический анализ Примеры

$49 e^{x} - 7 e^{2 x} = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде ${(e^{x})}^{2}$ .

$49 e^{x} - 7 {(e^{x})}^{2} = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = e^{x}$ . Подставим $u$ вместо $e^{x}$ для всех.

$49 u - 7 u^{2} = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $7 u$ из $49 u - 7 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $7 u$ из $49 u$ .

$7 u (7) - 7 u^{2} = 0$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $7 u$ из $- 7 u^{2}$ .

$7 u (7) + 7 u (- u) = 0$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $7 u$ из $7 u (7) + 7 u (- u)$ .

$7 u (7 - u) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$7 e^{x} (7 - e^{x}) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$7 - e^{x} = 0$

Этап 3

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 3.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 3.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 4

Приравняем $7 - e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $7 - e^{x}$ к $0$ .

$7 - e^{x} = 0$

Этап 4.2

Решим $7 - e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- e^{x} = - 7$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $- e^{x} = - 7$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $- e^{x} = - 7$ на $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 4.2.2.2.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$e^{x} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Разделим $- 7$ на $- 1$ .

$e^{x} = 7$

Этап 4.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (7)$

Этап 4.2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (7)$

Этап 4.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (7)$

Этап 4.2.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (7)$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $7 e^{x} (7 - e^{x}) = 0$ верно.

$x = \ln (7)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (7)$

Десятичная форма:

$x = 1.94591014 \dots$