Математический анализ Примеры

$0 = \cos (x + \frac{π}{4})$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\cos (x + \frac{π}{4}) = 0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) = 0$

Этап 2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x + \frac{π}{4} = \arccos (0)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Этап 4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 4.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Этап 4.5.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x + \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 6.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $\frac{3 π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3 π \cdot 2 - π}{4}$

Этап 6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{6 π - π}{4}$

Этап 6.2.5.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 7

Найдем период $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8

Период функции $\cos (x + \frac{π}{4})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$