Математический анализ Примеры

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$

Этап 1

Разделим каждый член $10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$ на $10$ .

$\frac{10 {(1 + e^{- x})}^{- 1}}{10} = \frac{3}{10}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{10 (1 + e^{- x})} = \frac{3}{10}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{10 (1 + e^{- x})} = \frac{3}{10}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + e^{- x}} = \frac{3}{10}$

Этап 2

Умножим обе части на $1 + e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $1 + e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\frac{3}{10} (1 + e^{- x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = \frac{3}{10} \cdot 1 + \frac{3}{10} e^{- x}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $\frac{3}{10}$ на $1$ .

$1 = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} e^{- x}$

Этап 3.2.1.3

Объединим $\frac{3}{10}$ и $e^{- x}$ .

$1 = \frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10} = 1$ .

$\frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10} = 1$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $\frac{3}{10}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3 e^{- x}}{10} = 1 - \frac{3}{10}$

Этап 4.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{10 - 3}{10}$

Этап 4.2.4

Вычтем $3$ из $10$ .

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{7}{10}$

Этап 4.3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$3 e^{- x} = 7$

Этап 4.4

Разделим каждый член $3 e^{- x} = 7$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Разделим каждый член $3 e^{- x} = 7$ на $3$ .

$\frac{3 e^{- x}}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 e^{- x}}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 4.4.2.1.2

Разделим $e^{- x}$ на $1$ .

$e^{- x} = \frac{7}{3}$

Этап 4.5

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (\frac{7}{3})$

Этап 4.6

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Развернем $\ln (e^{- x})$ , вынося $- x$ из логарифма.

$- x \ln (e) = \ln (\frac{7}{3})$

Этап 4.6.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- x \cdot 1 = \ln (\frac{7}{3})$

Этап 4.6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- x = \ln (\frac{7}{3})$

Этап 4.7

Разделим каждый член $- x = \ln (\frac{7}{3})$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Разделим каждый член $- x = \ln (\frac{7}{3})$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

Этап 4.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

Этап 4.7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

Этап 4.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \ln (\frac{7}{3})$

Этап 4.7.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \ln (\frac{7}{3})$ в виде $- \ln (\frac{7}{3})$ .

$x = - \ln (\frac{7}{3})$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \ln (\frac{7}{3})$

Десятичная форма:

$x = - 0.84729786 \dots$