Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{h \to 0} (3 {(\frac{1}{2} + h)}^{5}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2} + h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Этап 1.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{3 lim_{h \to 0} {(\frac{1}{2} + h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Этап 1.3

Вынесем степень $5$ в выражении ${(\frac{1}{2} + h)}^{5}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{h \to 0} \frac{1}{2} + h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Этап 1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{3 {(lim_{h \to 0} \frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Этап 1.5

Найдем предел $\frac{1}{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Этап 1.6

Найдем предел $3 {(\frac{1}{2})}^{5}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{5} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Этап 2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{2} + 0)}^{5} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Этап 3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \frac{1^{5}}{2^{5}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Этап 3.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3 \frac{1}{2^{5}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Этап 3.1.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{3 (\frac{1}{32}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Этап 3.1.5

Объединим $3$ и $\frac{1}{32}$ .

$\frac{\frac{3}{32} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Этап 3.1.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{3}{32} - 3 \frac{1^{5}}{2^{5}}}{h}$

Этап 3.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{3}{32} - 3 \frac{1}{2^{5}}}{h}$

Этап 3.1.8

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{\frac{3}{32} - 3 (\frac{1}{32})}{h}$

Этап 3.1.9

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{32}$ .

$\frac{\frac{3}{32} + \frac{- 3}{32}}{h}$

Этап 3.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{3}{32} - \frac{3}{32}}{h}$

Этап 3.1.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 - 3}{32}}{h}$

Этап 3.1.12

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{\frac{0}{32}}{h}$

Этап 3.1.13

Разделим $0$ на $32$ .

$\frac{0}{h}$

Этап 3.2

Разделим $0$ на $h$ .

$0$