Математический анализ Примеры

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \ln (2 x) + \ln (16 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Упростим $2 \ln (2 x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln ({(2 x)}^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Этап 2.1.1.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\ln (2^{2} x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Этап 2.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Этап 2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 x^{2} (16 x)) = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0$

Этап 2.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0$

Этап 2.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0$

Этап 2.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

Этап 2.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

Этап 2.1.5

Умножим $4$ на $16$ .

$\ln (64 x^{3}) = 0$

Этап 3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (64 x^{3})} = e^{0}$

Этап 4

Перепишем $\ln (64 x^{3}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 64 x^{3}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $64 x^{3} = e^{0}$ .

$64 x^{3} = e^{0}$

Этап 5.2

Вычтем $e^{0}$ из обеих частей уравнения.

$64 x^{3} - e^{0} = 0$

Этап 5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 5.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$64 x^{3} - 1 = 0$

Этап 5.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $64 x^{3}$ в виде ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

Этап 5.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Этап 5.4.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 4 x$ и $b = 1$ .

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 5.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Применим правило умножения к $4 x$ .

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 5.4.4.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 5.4.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

Этап 5.4.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Этап 5.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Этап 5.6

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Этап 5.6.2

Решим $4 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 1$

Этап 5.6.2.2

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 5.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 5.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Этап 5.7

Приравняем $16 x^{2} + 4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $16 x^{2} + 4 x + 1$ к $0$ .

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Этап 5.7.2

Решим $16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.7.2.2

Подставим значения $a = 16$ , $b = 4$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Этап 5.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Этап 5.7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Этап 5.7.2.3.1.2.2

Умножим $- 64$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 5.7.2.3.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Этап 5.7.2.3.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Этап 5.7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Этап 5.7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Этап 5.7.2.3.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 5.7.2.3.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 5.7.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 5.7.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 5.7.2.3.2

Умножим $2$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 5.7.2.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Этап 5.7.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Этап 5.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$