Математический анализ Примеры

$2 \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sin (2 x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (2 x)$ для всех.

$2 u^{2} - u = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $u$ из $2 u^{2} - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) (2 \sin (2 x) - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

$2 \sin (2 x) - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\sin (2 x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\sin (2 x)$ к $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Этап 3.2

Решим $\sin (2 x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$2 x = 0$

Этап 3.2.3

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 3.2.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - 0$

Этап 3.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 x = π + 0$

Этап 3.2.5.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$2 x = π$

Этап 3.2.5.2

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 3.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 3.2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.2.6

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.7

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $2 \sin (2 x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2 \sin (2 x) - 1$ к $0$ .

$2 \sin (2 x) - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $2 \sin (2 x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin (2 x) = 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (2 x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (2 x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Этап 4.2.5

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 4.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 4.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 4.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.2.5.3.2

Умножим $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.2.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Этап 4.2.5.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Этап 4.2.6

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Этап 4.2.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 4.2.7.1.2

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 4.2.7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 4.2.7.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 4.2.7.1.4.2

Вычтем $π$ из $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Этап 4.2.7.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 4.2.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 4.2.7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 4.2.7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.2.7.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Этап 4.2.7.2.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 4.2.8

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.8.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 4.2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 4.2.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 4.2.8.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.9

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (2 x) (2 \sin (2 x) - 1) = 0$ верно.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим $π n$ и $\frac{π}{2} + π n$ в $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$