Математический анализ Примеры

$\ln (x - 2) + \ln (2 x - 3) = 2 \ln (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 2) (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

Этап 1.2

Развернем $(x - 2) (2 x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3.1.3

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3.1.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3.2

Вычтем $4 x$ из $- 3 x$ .

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 6) = 2 \ln (x)$

Этап 2

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 6) = \ln (x^{2})$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$2 x^{2} - 7 x + 6 = x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} = 0$

Этап 4.1.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 7 x + 6 = 0$

Этап 4.2

Разложим $x^{2} - 7 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 7$ .

$- 6, - 1$

Этап 4.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x - 1) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 4.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 6, 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\ln (x - 2) + \ln (2 x - 3) = 2 \ln (x)$ истинным.

$x = 6$