Математический анализ Примеры

$\ln (x - 3) + \ln (2 x - 1) = \ln (3)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (2 x - 1)) = \ln (3)$

Этап 1.2

Развернем $(x - 3) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = \ln (3)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x - 1)) = \ln (3)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Этап 1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Этап 1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Этап 1.3.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 1 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Этап 1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\ln (2 x^{2} - x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Этап 1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\ln (2 x^{2} - x - 6 x - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Этап 1.3.1.6

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\ln (2 x^{2} - x - 6 x + 3) = \ln (3)$

Этап 1.3.2

Вычтем $6 x$ из $- x$ .

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 3) = \ln (3)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$2 x^{2} - 7 x + 3 = 3$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 7 x + 3 - 3 = 0$

Этап 3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} - 7 x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$2 x^{2} - 7 x + 0 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $2 x^{2} - 7 x$ и $0$ .

$2 x^{2} - 7 x = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2} - 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$x (2 x) - 7 x = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 7 x$ .

$x (2 x) + x \cdot - 7 = 0$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x) + x \cdot - 7$ .

$x (2 x - 7) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x - 7 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.6

Приравняем $2 x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $2 x - 7$ к $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $2 x - 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 7$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $2 x = 7$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 7$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (2 x - 7) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{7}{2}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (x - 3) + \ln (2 x - 1) = \ln (3)$ истинным.

$x = \frac{7}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{7}{2}$

Десятичная форма:

$x = 3.5$

Форма смешанных чисел:

$x = 3 \frac{1}{2}$