Математический анализ Примеры

$\ln (x) - \ln (\frac{1}{x}) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{\frac{1}{x}}) = 2$

Этап 1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (x \cdot x) = 2$

Этап 1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2}) = 2$

Этап 2

Запишем в экспоненциальной форме.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для логарифмических уравнений $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ такому, что $x > 0$ , $b > 0$ и $b \neq 1$ . В этом случае $b = e$ , $x = x^{2}$ и $y = 2$ .

$b = e$

$x = x^{2}$

$y = 2$

Этап 2.2

Подставим значения $b$ , $x$ и $y$ в уравнение $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} = e^{2}$ .

$x^{2} = e^{2}$

Этап 3.2

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$| x | = | e |$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm | e |$

Этап 3.3.2

$e$ приблизительно равно $2.71828182$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$x = \pm e$

Этап 3.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = e$

Этап 3.3.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - e$

Этап 3.3.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = e, - e$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (x) - \ln (\frac{1}{x}) = 2$ истинным.

$x = e$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = e$

Десятичная форма:

$x = 2.71828182 \dots$