Математический анализ Примеры

$\ln (x + 11) + \ln (x - 5) = 2 \ln (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x + 11) (x - 5)) = 2 \ln (x)$

Этап 1.2

Развернем $(x + 11) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (x - 5) + 11 (x - 5)) = 2 \ln (x)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 5 + 11 (x - 5)) = 2 \ln (x)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 5 + 11 x + 11 \cdot - 5) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 5 + 11 x + 11 \cdot - 5) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\ln (x^{2} - 5 \cdot x + 11 x + 11 \cdot - 5) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3.1.3

Умножим $11$ на $- 5$ .

$\ln (x^{2} - 5 x + 11 x - 55) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3.2

Добавим $- 5 x$ и $11 x$ .

$\ln (x^{2} + 6 x - 55) = 2 \ln (x)$

Этап 2

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (x^{2} + 6 x - 55) = \ln (x^{2})$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} + 6 x - 55 = x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 6 x - 55 - x^{2} = 0$

Этап 4.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 6 x - 55 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$6 x - 55 + 0 = 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $6 x - 55$ и $0$ .

$6 x - 55 = 0$

Этап 4.2

Добавим $55$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 55$

Этап 4.3

Разделим каждый член $6 x = 55$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $6 x = 55$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{55}{6}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{55}{6}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{55}{6}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{55}{6}$

Десятичная форма:

$x = 9.1\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$x = 9 \frac{1}{6}$