Математический анализ Примеры

$\ln (x) - \ln (x - 1) = \ln (4 x - 6)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{x - 1}) = \ln (4 x - 6)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, 1, 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$x - 1, 1, 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x - 1$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$ умножим на $x - 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$ на $x - 1$ .

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$x = 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Этап 3.2.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x = 4 x^{2} + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 (x - 1)$

Этап 3.2.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 x - 6 \cdot - 1$

Этап 3.2.3.1.5

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 x + 6$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 4 x$ .

$x = 4 x^{2} - 10 x + 6$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} - 10 x + 6 = x$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 10 x + 6 - x = 0$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $x$ из $- 10 x$ .

$4 x^{2} - 11 x + 6 = 0$

Этап 3.3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 6 = 24$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$4 x^{2} - 11 x + 6 = 0$

Этап 3.3.3.1.2

Запишем $- 11$ как $- 3$ плюс $- 8$

$4 x^{2} + (- 3 - 8) x + 6 = 0$

Этап 3.3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 3 x - 8 x + 6 = 0$

Этап 3.3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} - 3 x) - 8 x + 6 = 0$

Этап 3.3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (4 x - 3) - 2 (4 x - 3) = 0$

Этап 3.3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 3$ .

$(4 x - 3) (x - 2) = 0$

Этап 3.3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 3.3.5

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Этап 3.3.5.2

Решим $4 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 3$

Этап 3.3.5.2.2

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 3.3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 3.3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 3.3.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.3.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x - 3) (x - 2) = 0$ верно.

$x = \frac{3}{4}, 2$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (x) - \ln (x - 1) = \ln (4 x - 6)$ истинным.

$x = 2$