Математический анализ Примеры

$\ln (x) = \frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x) = \frac{1}{3} \ln (16) + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

Этап 1.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (16)$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

Этап 1.1.3

Умножим $\frac{1}{3} (2 \ln (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2}{3} \ln (2)$

Этап 1.1.3.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\ln (2)$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$

Этап 2

Каждый член в $\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ умножим на $3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ на $3$ .

$\ln (x) \cdot 3 = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $3$ влево от $\ln (x)$ .

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Этап 2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Этап 2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$3 \ln (x) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $3 \ln (x)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $\ln (16) + 2 \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Упростим $2 \ln (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (2^{2})$

Этап 4.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (4)$

Этап 4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (16 \cdot 4)$

Этап 4.1.3

Умножим $16$ на $4$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (64)$

Этап 5

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{3} = 64$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 64 = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$x^{3} - 4^{3} = 0$

Этап 6.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

Этап 6.2.3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 6.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6.5

Приравняем $x^{2} + 4 x + 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x^{2} + 4 x + 16$ к $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Этап 6.5.2

Решим $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Этап 6.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ верно.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$