Математический анализ Примеры

$\ln (5 x - 6) + \ln (6 x) = 2 \ln (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((5 x - 6) (6 x)) = 2 \ln (x)$

Этап 1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (5 x (6 x) - 6 (6 x)) = 2 \ln (x)$

Этап 1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (5 \cdot (6 x \cdot x) - 6 (6 x)) = 2 \ln (x)$

Этап 1.2.2.2

Умножим $6$ на $- 6$ .

$\ln (5 \cdot (6 x \cdot x) - 36 x) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перенесем $x$ .

$\ln (5 \cdot (6 (x \cdot x)) - 36 x) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (5 \cdot (6 x^{2}) - 36 x) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3.2

Умножим $5$ на $6$ .

$\ln (30 x^{2} - 36 x) = 2 \ln (x)$

Этап 2

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (30 x^{2} - 36 x) = \ln (x^{2})$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$30 x^{2} - 36 x = x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$30 x^{2} - 36 x - x^{2} = 0$

Этап 4.1.2

Вычтем $x^{2}$ из $30 x^{2}$ .

$29 x^{2} - 36 x = 0$

Этап 4.2

Вынесем множитель $x$ из $29 x^{2} - 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $29 x^{2}$ .

$x (29 x) - 36 x = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 36 x$ .

$x (29 x) + x \cdot - 36 = 0$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (29 x) + x \cdot - 36$ .

$x (29 x - 36) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$29 x - 36 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.5

Приравняем $29 x - 36$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $29 x - 36$ к $0$ .

$29 x - 36 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $29 x - 36 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Добавим $36$ к обеим частям уравнения.

$29 x = 36$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $29 x = 36$ на $29$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $29 x = 36$ на $29$ .

$\frac{29 x}{29} = \frac{36}{29}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{29 x}{29} = \frac{36}{29}$

Этап 4.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{36}{29}$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (29 x - 36) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{36}{29}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\ln (5 x - 6) + \ln (6 x) = 2 \ln (x)$ истинным.

$x = \frac{36}{29}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{36}{29}$

Десятичная форма:

$x = 1.24137931 \dots$

Форма смешанных чисел:

$x = 1 \frac{7}{29}$