Математический анализ Примеры

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $- 2 \ln (2 x - 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - \ln ({(2 x - 1)}^{2}) = 0$

Этап 2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$

Этап 5

Упростим $e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 1 {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 5.1.2

Умножим ${(2 x - 1)}^{2}$ на $1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 5.1.3

Перепишем ${(2 x - 1)}^{2}$ в виде $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = (2 x - 1) (2 x - 1)$

Этап 5.2

Развернем $(2 x - 1) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.3.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

Этап 5.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

Этап 5.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Этап 6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} = - 4 x + 1$

Этап 6.2

Добавим $4 x$ к обеим частям уравнения.

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} + 4 x = 1$

Этап 6.3

Вычтем $4 x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 15 + 4 x = 1$

Этап 6.4

Добавим $2 x$ и $4 x$ .

$x^{2} + 6 x - 15 = 1$

Этап 7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + 6 x = 1 + 15$

Этап 7.2

Добавим $1$ и $15$ .

$x^{2} + 6 x = 16$

Этап 8

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$

Этап 9

Разложим $x^{2} + 6 x - 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 16$ , а сумма — $6$ .

$- 2, 8$

Этап 9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 8) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 11

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 11.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 12

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 12.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 8) = 0$ верно.

$x = 2, - 8$

Этап 14

Исключим решения, которые не делают $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$ истинным.

$x = 2$