Математический анализ Примеры

$\ln (4 x) - 3 \ln (x^{2}) = \ln (2)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (4 x) - 3 \ln (x^{2}) - \ln (2) = 0$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4 x}{2}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Этап 3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\ln (\frac{2 (2 x)}{2}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (\frac{2 (2 x)}{2 (1)}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{2 x}{1}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Этап 3.2.4

Разделим $2 x$ на $1$ .

$\ln (2 x) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Этап 4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $\ln (2 x) - 3 \ln (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Упростим $- 3 \ln (x^{2})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (2 x) - \ln ({(x^{2})}^{3}) = 0$

Этап 4.1.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2 x) - \ln (x^{2 \cdot 3}) = 0$

Этап 4.1.1.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\ln (2 x) - \ln (x^{6}) = 0$

Этап 4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2 x}{x^{6}}) = 0$

Этап 4.1.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\ln (\frac{x \cdot 2}{x^{6}}) = 0$

Этап 4.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{6}$ .

$\ln (\frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{5}}) = 0$

Этап 4.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{5}}) = 0$

Этап 4.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0$

Этап 5

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{2}{x^{5}})} = e^{0}$

Этап 6

Перепишем $\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{2}{x^{5}}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2}{x^{5}} = e^{0}$ .

$\frac{2}{x^{5}} = e^{0}$

Этап 7.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{2}{x^{5}} = 1$

Этап 7.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{5}, 1$

Этап 7.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{5}$

Этап 7.4

Каждый член в $\frac{2}{x^{5}} = 1$ умножим на $x^{5}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x^{5}} = 1$ на $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{5}} x^{5} = 1 x^{5}$

Этап 7.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x^{5}} x^{5} = 1 x^{5}$

Этап 7.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 = 1 x^{5}$

Этап 7.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$2 = x^{5}$

Этап 7.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{5} = 2$ .

$x^{5} = 2$

Этап 7.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt[5]{2}$

Десятичная форма:

$x = 1.14869835 \dots$