Математический анализ Примеры

tan (2 x) = 1

$\tan (2 x) = 1$

Этап 1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из тангенса.

2 x = arctan (1)

$2 x = \arctan (1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение

arctan (1)

$\arctan (1)$ :

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$

Этап 3

Разделим каждый член

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$ на

2

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$ на

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2

Умножим

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим

$\frac{π}{4}$ на

$\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.2

Умножим

$4$ на

$2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Этап 4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из

$π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = π + \frac{π}{4}$

Этап 5

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать

$π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.1.2

Объединим

$π$ и

$\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 5.1.4

Добавим

$π \cdot 4$ и

$π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Изменим порядок

$π$ и

$4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 5.1.4.2

Добавим

$4 \cdot π$ и

$π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Этап 5.2

Разделим каждый член

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ на

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ на

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Умножим

$\frac{5 π}{4}$ на

$\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Этап 5.2.3.2.2

Умножим

$4$ на

$2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Этап 6

Найдем период

$\tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим

$b$ на

$2$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 2 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$2$ равно

$2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 7

Период функции

$\tan (2 x)$ равен

$\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые

$\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого

$n$

Этап 8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого

$n$