Математический анализ Примеры

$x + 2 = \sqrt{2 x - 9} + 4$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{2 x - 9} + 4 = x + 2$

Этап 2

Перенесем все члены без $\sqrt{2 x - 9}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2 x - 9} = x + 2 - 4$

Этап 2.2

Вычтем $4$ из $2$ .

$\sqrt{2 x - 9} = x - 2$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x - 9}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 9}$ в виде ${(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x - 9)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$2 x - 9 = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 x - 9 = (x - 2) (x - 2)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 9 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 9 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 9 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x - 9 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$2 x - 9 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$2 x - 9 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Этап 4.3.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$2 x - 9 = x^{2} - 4 x + 4$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 4 x + 4 = 2 x - 9$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x + 4 - 2 x = - 9$

Этап 5.2.2

Вычтем $2 x$ из $- 4 x$ .

$x^{2} - 6 x + 4 = - 9$

Этап 5.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 6 x + 4 + 9 = 0$

Этап 5.3.2

Добавим $4$ и $9$ .

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Этап 5.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = 13$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.3

Вычтем $52$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$