Математический анализ Примеры

$\ln (x - 3) - \ln (x - 4) - \ln (x) = \ln (3)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 3}{x - 4}) - \ln (x) = \ln (3)$

Этап 1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 3}{x - 4}}{x}) = \ln (3)$

Этап 1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{1}{x}) = \ln (3)$

Этап 1.4

Умножим $\frac{x - 3}{x - 4}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{x - 3}{(x - 4) x}) = \ln (3)$

Этап 1.5

Изменим порядок множителей в $\ln (\frac{x - 3}{(x - 4) x})$ .

$\ln (\frac{x - 3}{x (x - 4)}) = \ln (3)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x (x - 4), 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x (x - 4)$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$ умножим на $x (x - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$ на $x (x - 4)$ .

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} (x (x - 4)) = 3 (x (x - 4))$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $x (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} (x (x - 4)) = 3 (x (x - 4))$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x - 3 = 3 (x (x - 4))$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 3 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 4)$

Этап 3.2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x - 3 = 3 (x^{2} + x \cdot - 4)$

Этап 3.2.3.2.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$x - 3 = 3 (x^{2} - 4 \cdot x)$

Этап 3.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 3 = 3 x^{2} + 3 (- 4 x)$

Этап 3.2.3.4

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x - 3 = 3 x^{2} - 12 x$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$3 x^{2} - 12 x = x - 3$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - 12 x - x = - 3$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $x$ из $- 12 x$ .

$3 x^{2} - 13 x = - 3$

Этап 3.3.3

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} - 13 x + 3 = 0$

Этап 3.3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3.5

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 13$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.1

Возведем $- 13$ в степень $2$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 36}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.6.1.3

Вычтем $36$ из $169$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{133}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{133}}{6}$

Этап 3.3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}, \frac{13 - \sqrt{133}}{6}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (x - 3) - \ln (x - 4) - \ln (x) = \ln (3)$ истинным.

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}$

Десятичная форма:

$x = 4.08876043 \dots$