Математический анализ Примеры

$\log (x + 3) + \log (4) = 2 \log (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 3) \cdot 4) = 2 \log (x)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot 4 + 3 \cdot 4) = 2 \log (x)$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\log (4 \cdot x + 3 \cdot 4) = 2 \log (x)$

Этап 1.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\log (4 x + 12) = 2 \log (x)$

Этап 2

Упростим $2 \log (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (4 x + 12) = \log (x^{2})$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$4 x + 12 = x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x + 12 - x^{2} = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $4 x + 12 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Перенесем $12$ .

$4 x - x^{2} + 12 = 0$

Этап 4.2.1.1.2

Изменим порядок $4 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 4 x + 12 = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 4 x + 12 = 0$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $4 x$ .

$- (x^{2}) - (- 4 x) + 12 = 0$

Этап 4.2.1.4

Перепишем $12$ в виде $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 4.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- (x^{2} - 4 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 4.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 4 x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - 4 x - 12) = 0$

Этап 4.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разложим $x^{2} - 4 x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 4$ .

$- 6, 2$

Этап 4.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 6) (x + 2)) = 0$

Этап 4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 6) (x + 2) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 4.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 6) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 6, - 2$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\log (x + 3) + \log (4) = 2 \log (x)$ истинным.

$x = 6$