Математический анализ Примеры

$- \frac{2 k}{x^{3}} + \frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}}$

Этап 1

Чтобы записать $- \frac{2 k}{x^{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(12 - x)}^{3}}{{(12 - x)}^{3}}$ .

$- \frac{2 k}{x^{3}} \cdot \frac{{(12 - x)}^{3}}{{(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{2 k}{x^{3}} \cdot \frac{{(12 - x)}^{3}}{{(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x^{3} {(12 - x)}^{3}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{2 k}{x^{3}}$ на $\frac{{(12 - x)}^{3}}{{(12 - x)}^{3}}$ .

$- \frac{2 k {(12 - x)}^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}}$ на $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{2 k {(12 - x)}^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k x^{3}}{{(12 - x)}^{3} x^{3}}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в ${(12 - x)}^{3} x^{3}$ .

$- \frac{2 k {(12 - x)}^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k x^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 k {(12 - x)}^{3} + 16 k x^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2 k$ из $- 2 k {(12 - x)}^{3} + 16 k x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $2 k$ из $- 2 k {(12 - x)}^{3}$ .

$\frac{2 k (- {(12 - x)}^{3}) + 16 k x^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $2 k$ из $16 k x^{3}$ .

$\frac{2 k (- {(12 - x)}^{3}) + 2 k (8 x^{3})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $2 k$ из $2 k (- {(12 - x)}^{3}) + 2 k (8 x^{3})$ .

$\frac{2 k (- {(12 - x)}^{3} + 8 x^{3})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.2

Перепишем $- {(12 - x)}^{3}$ в виде ${(- (12 - x))}^{3}$ .

$\frac{2 k ({(- (12 - x))}^{3} + 8 x^{3})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.3

Перепишем $8 x^{3}$ в виде ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{2 k ({(- (12 - x))}^{3} + {(2 x)}^{3})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = - (12 - x)$ и $b = 2 x$ .

$\frac{2 k ((- (12 - x) + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 k ((- 1 \cdot 12 - - x + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.5.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{2 k ((- 12 - - x + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.5.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 k ((- 12 + 1 x + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.5.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 k ((- 12 + x + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.5.4

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\frac{2 k ((- 12 + 3 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.5.5

Вынесем множитель $3$ из $- 12 + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$\frac{2 k ((3 \cdot - 4 + 3 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.5.5.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot - 4 + 3 x$ .

$\frac{2 k (3 (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.5.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 k (3 (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} + 1 (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.5.6.2

Умножим $12 - x$ на $1$ .

$\frac{2 k (3 (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

$\frac{2 k \cdot 3 (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.6

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- 1 \cdot 12 - - x)}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- 12 - - x)}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- 12 + 1 x)}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- 12 + x)}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.4

Перепишем ${(- 12 + x)}^{2}$ в виде $(- 12 + x) (- 12 + x)$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) ((- 12 + x) (- 12 + x) + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.5

Развернем $(- 12 + x) (- 12 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 k (- 4 + x) (- 12 (- 12 + x) + x (- 12 + x) + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 k (- 4 + x) (- 12 \cdot - 12 - 12 x + x (- 12 + x) + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 k (- 4 + x) (- 12 \cdot - 12 - 12 x + x \cdot - 12 + x \cdot x + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.6.1.1

Умножим $- 12$ на $- 12$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 12 x + x \cdot - 12 + x \cdot x + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.6.1.2

Перенесем $- 12$ влево от $x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 12 x - 12 \cdot x + x \cdot x + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.6.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 12 x - 12 x + x^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.6.2

Вычтем $12 x$ из $- 12 x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 12 (2 x) - x (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.8

Умножим $2$ на $12$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - x (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 1 \cdot 2 x \cdot x + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.10.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.10.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.10.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 1 \cdot 2 x^{2} + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.10.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 2 x^{2} + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.11

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 2 x^{2} + 2^{2} x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.7.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 2 x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.8

Добавим $- 24 x$ и $24 x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 + x^{2} + 0 x - 2 x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.9

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 + x^{2} + 0 - 2 x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.10

Добавим $144 + x^{2}$ и $0$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 + x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.11

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.12

Добавим $- x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 + 3 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.13

Вынесем множитель $3$ из $144 + 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.1

Вынесем множитель $3$ из $144$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (3 \cdot 48 + 3 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.13.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 48 + 3 x^{2}$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (3 (48 + x^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

$\frac{6 k (- 4 + x) \cdot 3 (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 5.14

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{18 k (- 4 + x) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{18 k (- 1 (4) + x) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{18 k (- 1 (4) - 1 (- x)) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (4) - 1 (- x)$ .

$\frac{18 k (- 1 (4 - x)) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Этап 6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{((18 k) (4 - x)) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$