Математический анализ Примеры

$\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - \frac{n (n + 1)}{6}$

Этап 1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{n (n + 1) (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(n \cdot n + n \cdot 1) (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.2

Умножим $n$ на $n$ .

$\frac{(n^{2} + n \cdot 1) (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.3

Умножим $n$ на $1$ .

$\frac{(n^{2} + n) (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.4

Развернем $(n^{2} + n) (2 n + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{n^{2} (2 n + 1) + n (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $n^{2}$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Перенесем $n$ .

$\frac{2 (n \cdot n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $n$ на $n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.2.1

Возведем $n$ в степень $1$ .

$\frac{2 (n^{1} n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.5.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 n^{1 + 2} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.5.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.5.1.3

Умножим $n^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + 2 n \cdot n + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.5.1.5

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.5.1

Перенесем $n$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + 2 (n \cdot n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.5.1.5.2

Умножим $n$ на $n$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.5.1.6

Умножим $n$ на $1$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.5.2

Добавим $n^{2}$ и $2 n^{2}$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n (n + 1)}{6}$

Этап 2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n \cdot n - n \cdot 1}{6}$

Этап 2.7

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Перенесем $n$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - (n \cdot n) - n \cdot 1}{6}$

Этап 2.7.2

Умножим $n$ на $n$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n^{2} - n \cdot 1}{6}$

Этап 2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n^{2} - n}{6}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим противоположные члены в $2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n^{2} - n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $n$ из $n$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} - n^{2} + 0}{6}$

Этап 3.1.2

Добавим $2 n^{3} + 3 n^{2} - n^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} - n^{2}}{6}$

Этап 3.2

Вычтем $n^{2}$ из $3 n^{2}$ .

$\frac{2 n^{3} + 2 n^{2}}{6}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2 n^{2}$ из $2 n^{3} + 2 n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2 n^{2}$ из $2 n^{3}$ .

$\frac{2 n^{2} (n) + 2 n^{2}}{6}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $2 n^{2}$ из $2 n^{2}$ .

$\frac{2 n^{2} (n) + 2 n^{2} (1)}{6}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $2 n^{2}$ из $2 n^{2} (n) + 2 n^{2} (1)$ .

$\frac{2 n^{2} (n + 1)}{6}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 n^{2} (n + 1)$ .

$\frac{2 (n^{2} (n + 1))}{6}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (n^{2} (n + 1))}{2 \cdot 3}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (n^{2} (n + 1))}{2 \cdot 3}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{n^{2} (n + 1)}{3}$