Математический анализ Примеры

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{3}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} ({(2 t^{2})}^{3} + 3 {(2 t^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило умножения к $2 t^{2}$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (2^{3} {(t^{2})}^{3} + 3 {(2 t^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (8 {(t^{2})}^{3} + 3 {(2 t^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (8 t^{2 \cdot 3} + 3 {(2 t^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 2.1.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (8 t^{6} + 3 {(2 t^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 2.1.4

Применим правило умножения к $2 t^{2}$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (8 t^{6} + 3 (2^{2} {(t^{2})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (8 t^{6} + 3 (4 {(t^{2})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 2.1.6

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (8 t^{6} + 3 (4 t^{2 \cdot 2}) \cdot - 1 + 3 (2 t^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 2.1.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (8 t^{6} + 3 (4 t^{4}) \cdot - 1 + 3 (2 t^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 2.1.7

Умножим $4$ на $3$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (8 t^{6} + 12 t^{4} \cdot - 1 + 3 (2 t^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 2.1.8

Умножим $- 1$ на $12$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (8 t^{6} - 12 t^{4} + 3 (2 t^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 2.1.9

Умножим $2$ на $3$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (8 t^{6} - 12 t^{4} + 6 t^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 2.1.10

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (8 t^{6} - 12 t^{4} + 6 t^{2} \cdot 1 + {(- 1)}^{3})$

Этап 2.1.11

Умножим $6$ на $1$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (8 t^{6} - 12 t^{4} + 6 t^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 2.1.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (8 t^{6} - 12 t^{4} + 6 t^{2} - 1)$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (8 t^{6}) + {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (- 12 t^{4}) + {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (6 t^{2}) + {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 1$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{6} + {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (- 12 t^{4}) + {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (6 t^{2}) + {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 1$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{6} - 12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{4} + {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (6 t^{2}) + {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 1$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{6} - 12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{4} + 6 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{2} + {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 1$

Этап 3.4

Перенесем $- 1$ влево от ${(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$8 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{6} - 12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{4} + 6 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{2} - 1 \cdot {(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4

Перепишем $- 1 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ в виде $- {(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$8 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{6} - 12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{4} + 6 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{2} - {(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 5

Изменим порядок множителей в $8 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{6} - 12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{4} + 6 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} t^{2} - {(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$8 t^{6} {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} - 12 t^{4} {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} + 6 t^{2} {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} - {(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$