Математический анализ Примеры

$\frac{1}{{(2 i)}^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило умножения к $2 i$ .

$\frac{1}{2^{3} i^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{8 i^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 1.3

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$\frac{1}{8 (i^{2} \cdot i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 1.4

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1}{8 (- 1 \cdot i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 1.5

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$\frac{1}{8 \cdot - 1 i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 1.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{1}{- (8 i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 1.6.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{1}{- 8 i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 2

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1}{- 8 i}$ на комплексно сопряженное $- 8 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{1}{- 8 i} \cdot \frac{i}{i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим.

$\frac{1 i}{- 8 i i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 3.2

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{i}{- 8 i i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим круглые скобки.

$\frac{i}{- 8 (i i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 3.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{i}{- 8 (i^{1} i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 3.3.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{i}{- 8 (i^{1} i^{1})} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{i}{- 8 i^{1 + 1}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{i}{- 8 i^{2}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 3.3.6

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{i}{- 8 \cdot - 1} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 4

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Этап 5

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{i}{8} \cdot ({(e^{i x})}^{3} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{i x})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{i x \cdot 3} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.1.2

Перенесем $3$ влево от $i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} + 3 \cdot - 1 {(e^{i x})}^{2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 {(e^{i x})}^{2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.4

Перемножим экспоненты в ${(e^{i x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x \cdot 2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.4.2

Перенесем $2$ влево от $i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{2 i x} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.5

Умножим $e^{2 i x}$ на $e^{- i x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Перенесем $e^{- i x}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 (e^{- i x} e^{2 i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{- i x + 2 i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.5.3

Добавим $- i x$ и $2 i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{1 i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.5.4

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.6

Применим правило умножения к $- e^{- i x}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} ({(- 1)}^{2} {(e^{- i x})}^{2}) + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 \cdot 1 e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.9

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.10

Перемножим экспоненты в ${(e^{- i x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.10.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} e^{- i x \cdot 2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} e^{- 2 i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.11

Умножим $e^{i x}$ на $e^{- 2 i x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.11.1

Перенесем $e^{- 2 i x}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 (e^{- 2 i x} e^{i x}) + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.11.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- 2 i x + i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.11.3

Добавим $- 2 i x$ и $i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.12

Применим правило умножения к $- e^{- i x}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} + {(- 1)}^{3} {(e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.13

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - {(e^{- i x})}^{3})$

Этап 6.1.14

Перемножим экспоненты в ${(e^{- i x})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.14.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - e^{- i x \cdot 3})$

Этап 6.1.14.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - e^{- 3 i x})$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{i}{8} e^{3 i x} + \frac{i}{8} (- 3 e^{i x}) + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{i}{8}$ и $e^{3 i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{i}{8} (- 3 e^{i x}) + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Этап 7.2

Умножим $\frac{i}{8} (- 3 e^{i x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{i}{8}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i}{8} e^{i x} + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Этап 7.2.2

Объединим $\frac{- 3 i}{8}$ и $e^{i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Этап 7.3

Умножим $\frac{i}{8} (3 e^{- i x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $3$ и $\frac{i}{8}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i}{8} e^{- i x} + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Этап 7.3.2

Объединим $\frac{3 i}{8}$ и $e^{- i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Этап 7.4

Объединим $\frac{i}{8}$ и $e^{- 3 i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{i e^{3 i x}}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Этап 9

Перенесем $i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Этап 10

Изменим порядок $i$ и $e^{3 x i}$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Этап 11

Изменим порядок $i$ и $x$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Этап 12

Перенесем $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Этап 13

Перенесем $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 i e^{- 1 x i}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Этап 14

Перенесем $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Этап 15

Перенесем $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{i e^{- 3 x i}}{8}$

Этап 16

Изменим порядок $i$ и $e^{- 3 x i}$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Этап 17

Изменим порядок множителей в $e^{3 x i} i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Этап 18

Изменим порядок множителей в $3 e^{x i} i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Этап 19

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 e^{- x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Этап 20

Изменим порядок множителей в $3 e^{- x i} i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- x i}}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Этап 21

Изменим порядок множителей в $e^{- 3 x i} i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- x i}}{8} - \frac{i e^{- 3 x i}}{8}$