Математический анализ Примеры

$\frac{e - e^{- 1}}{e + e^{- 1}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e - \frac{1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Этап 1.2

Чтобы записать $e$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{e e}{e} - \frac{1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{e e - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Этап 1.4

Перепишем $\frac{e e - 1}{e}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $e e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Этап 1.4.1.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Этап 1.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Этап 1.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Этап 1.4.2

Перепишем $e^{2} - 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{e + e^{- 1}}$

Этап 1.4.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e$ и $b = 1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{e + e^{- 1}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{e + \frac{1}{e}}$

Этап 2.2

Чтобы записать $e$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e e + 1}{e}}$

Этап 2.4

Умножим $e e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1} e + 1}{e}}$

Этап 2.4.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e}}$

Этап 2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e}}$

Этап 2.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{2} + 1}{e}}$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e} \cdot \frac{e}{e^{2} + 1}$

Этап 4

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e} \cdot \frac{e}{e^{2} + 1}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$(e + 1) (e - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 5

Развернем $(e + 1) (e - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(e (e - 1) + 1 (e - 1)) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1)) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $e e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$(e^{1} e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 6.1.1.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$(e^{1} e^{1} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 6.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(e^{1 + 1} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 6.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(e^{2} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 6.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $e$ .

$(e^{2} - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 6.1.3

Перепишем $- 1 e$ в виде $- e$ .

$(e^{2} - e + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 6.1.4

Умножим $e$ на $1$ .

$(e^{2} - e + e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 6.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(e^{2} - e + e - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 6.2

Добавим $- e$ и $e$ .

$(e^{2} + 0 - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 6.3

Добавим $e^{2}$ и $0$ .

$(e^{2} - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2} \frac{1}{e^{2} + 1} - 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 7.2

Объединим $e^{2}$ и $\frac{1}{e^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2}}{e^{2} + 1} - 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $- 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$ в виде $- \frac{1}{e^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2}}{e^{2} + 1} - \frac{1}{e^{2} + 1}$

Этап 7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{2} - 1}{e^{2} + 1}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{e^{2} + 1}$

Этап 8.2

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e^{2} + 1}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e^{2} + 1}$

Десятичная форма:

$0.76159415 \dots$