Математический анализ Примеры

{(e^{t} - e^{- t})}^{2}

${(e^{t} - e^{- t})}^{2}$

Этап 1

Перепишем

{(e^{t} - e^{- t})}^{2}

${(e^{t} - e^{- t})}^{2}$ в виде

(e^{t} - e^{- t}) (e^{t} - e^{- t})

$(e^{t} - e^{- t}) (e^{t} - e^{- t})$ .

(e^{t} - e^{- t}) (e^{t} - e^{- t})

$(e^{t} - e^{- t}) (e^{t} - e^{- t})$

Этап 2

Развернем

(e^{t} - e^{- t}) (e^{t} - e^{- t})

$(e^{t} - e^{- t}) (e^{t} - e^{- t})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

e^{t} (e^{t} - e^{- t}) - e^{- t} (e^{t} - e^{- t})

$e^{t} (e^{t} - e^{- t}) - e^{- t} (e^{t} - e^{- t})$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

e^{t} e^{t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} (e^{t} - e^{- t})

$e^{t} e^{t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} (e^{t} - e^{- t})$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

e^{t} e^{t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{t} e^{t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

e^{t} e^{t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{t} e^{t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим

e^{t}

$e^{t}$ на

e^{t}

$e^{t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

e^{t + t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{t + t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Этап 3.1.1.2

Добавим

t

$t$ и

t

$t$ .

e^{2 t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{2 t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

e^{2 t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{2 t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Этап 3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

e^{2 t} - e^{t} e^{- t} - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{2 t} - e^{t} e^{- t} - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Этап 3.1.3

Умножим

e^{t}

$e^{t}$ на

e^{- t}

$e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Перенесем

e^{- t}

$e^{- t}$ .

e^{2 t} - (e^{- t} e^{t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{2 t} - (e^{- t} e^{t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Этап 3.1.3.2

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

e^{2 t} - e^{- t + t} - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{2 t} - e^{- t + t} - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Этап 3.1.3.3

Добавим

- t

$- t$ и

t

$t$ .

e^{2 t} - e^{0} - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{2 t} - e^{0} - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

e^{2 t} - e^{0} - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{2 t} - e^{0} - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Этап 3.1.4

Упростим

- e^{0}

$- e^{0}$ .

e^{2 t} - 1 - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{2 t} - 1 - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Этап 3.1.5

Умножим

e^{- t}

$e^{- t}$ на

e^{t}

$e^{t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Перенесем

e^{t}

$e^{t}$ .

e^{2 t} - 1 - (e^{t} e^{- t}) - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{2 t} - 1 - (e^{t} e^{- t}) - e^{- t} (- e^{- t})$

Этап 3.1.5.2

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

e^{2 t} - 1 - e^{t - t} - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{2 t} - 1 - e^{t - t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Этап 3.1.5.3

Вычтем

t

$t$ из

t

$t$ .

e^{2 t} - 1 - e^{0} - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{2 t} - 1 - e^{0} - e^{- t} (- e^{- t})$

e^{2 t} - 1 - e^{0} - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{2 t} - 1 - e^{0} - e^{- t} (- e^{- t})$

Этап 3.1.6

Упростим

- e^{0}

$- e^{0}$ .

e^{2 t} - 1 - 1 - e^{- t} (- e^{- t})

$e^{2 t} - 1 - 1 - e^{- t} (- e^{- t})$

Этап 3.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

e^{2 t} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- t} e^{- t}

$e^{2 t} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- t} e^{- t}$

Этап 3.1.8

Умножим

e^{- t}

$e^{- t}$ на

e^{- t}

$e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Перенесем

e^{- t}

$e^{- t}$ .

e^{2 t} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- t} e^{- t})

$e^{2 t} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- t} e^{- t})$

Этап 3.1.8.2

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

e^{2 t} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- t - t}

$e^{2 t} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- t - t}$

Этап 3.1.8.3

Вычтем

t

$t$ из

- t

$- t$ .

e^{2 t} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 t}

$e^{2 t} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 t}$

e^{2 t} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 t}

$e^{2 t} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 t}$

Этап 3.1.9

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

e^{2 t} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 t}

$e^{2 t} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 t}$

Этап 3.1.10

Умножим

e^{- 2 t}

$e^{- 2 t}$ на

1

$1$ .

e^{2 t} - 1 - 1 + e^{- 2 t}

$e^{2 t} - 1 - 1 + e^{- 2 t}$

e^{2 t} - 1 - 1 + e^{- 2 t}

$e^{2 t} - 1 - 1 + e^{- 2 t}$

Этап 3.2

Вычтем

1

$1$ из

- 1

$- 1$ .

e^{2 t} - 2 + e^{- 2 t}

$e^{2 t} - 2 + e^{- 2 t}$

e^{2 t} - 2 + e^{- 2 t}

$e^{2 t} - 2 + e^{- 2 t}$