Математический анализ Примеры

$(\frac{1}{\sqrt{t + h}}) - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{t + h}}$ на $\frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{t + h}} \cdot \frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Этап 1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{t + h}}$ на $\frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h}}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h} \sqrt{t + h}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Этап 1.2.2

Возведем $\sqrt{t + h}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{1} \sqrt{t + h}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Этап 1.2.3

Возведем $\sqrt{t + h}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{1} {\sqrt{t + h}}^{1}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Этап 1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{1 + 1}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Этап 1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{2}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Этап 1.2.6

Перепишем ${\sqrt{t + h}}^{2}$ в виде $t + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t + h}$ в виде ${(t + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{({(t + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Этап 1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Этап 1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{\frac{2}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Этап 1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{\frac{2}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Этап 1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{1}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Этап 1.2.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Этап 1.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{t}}$ на $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - (\frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}})$

Этап 1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{t}}$ на $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} \sqrt{t}}$

Этап 1.4.2

Возведем $\sqrt{t}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} \sqrt{t}}$

Этап 1.4.3

Возведем $\sqrt{t}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} {\sqrt{t}}^{1}}$

Этап 1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1 + 1}}$

Этап 1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{2}}$

Этап 1.4.6

Перепишем ${\sqrt{t}}^{2}$ в виде $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{1}}$

Этап 1.4.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{\sqrt{t + h}}{t + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t}{t}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} \cdot \frac{t}{t} - \frac{\sqrt{t}}{t}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{\sqrt{t}}{t}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t + h}{t + h}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} \cdot \frac{t}{t} - \frac{\sqrt{t}}{t} \cdot \frac{t + h}{t + h}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(t + h) t$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{\sqrt{t + h}}{t + h}$ на $\frac{t}{t}$ .

$\frac{\sqrt{t + h} t}{(t + h) t} - \frac{\sqrt{t}}{t} \cdot \frac{t + h}{t + h}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{\sqrt{t}}{t}$ на $\frac{t + h}{t + h}$ .

$\frac{\sqrt{t + h} t}{(t + h) t} - \frac{\sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(t + h) t$ .

$\frac{\sqrt{t + h} t}{t (t + h)} - \frac{\sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{t + h} t - \sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t + h}$ в виде ${(t + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - \sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

Этап 6.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{1}{2}} (t + h)}{t (t + h)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Этап 6.4

Умножим $t^{\frac{1}{2}}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем $t$ .

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Этап 6.4.2

Умножим $t$ на $t^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Этап 6.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{1 + \frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Этап 6.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Этап 6.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{2 + 1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Этап 6.4.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Этап 6.5

Перепишем ${(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из ${(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1.1

Изменим порядок $t$ и $h$ .

$\frac{{(h + t)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Этап 6.5.1.1.2

Изменим порядок ${(h + t)}^{\frac{1}{2}}$ и $t$ .

$\frac{t {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Этап 6.5.1.1.3

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} - h t^{\frac{1}{2}}}{t (t + h)}$

Этап 6.5.1.2

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из $t {(h + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) - t^{\frac{3}{2}} - h t^{\frac{1}{2}}}{t (t + h)}$

Этап 6.5.1.3

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из $- t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- t^{\frac{2}{2}}) - h t^{\frac{1}{2}}}{t (t + h)}$

Этап 6.5.1.4

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из $- h t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- h)}{t (t + h)}$

Этап 6.5.1.5

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из $t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- t^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- h)}{t (t + h)}$

Этап 6.5.1.6

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из $t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- h)$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2}} - h)}{t (t + h)}$

Этап 6.5.2

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{1} - h)}{t (t + h)}$

Этап 6.5.3

Упростим.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h)}{t (t + h)}$

Этап 7

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t (t + h) t^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 8

Умножим $t$ на $t^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2}} t (t + h)}$

Этап 8.2

Умножим $t^{- \frac{1}{2}}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (t + h)}$

Этап 8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (t + h)}$

Этап 8.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (t + h)}$

Этап 8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (t + h)}$

Этап 8.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{\frac{1}{2}} (t + h)}$