Математический анализ Примеры

$4 - \frac{108}{x^{3}} = 0$

Этап 1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{108}{x^{3}} = - 4$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{3}, 1$

Этап 2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{3}$

Этап 3

Каждый член в $- \frac{108}{x^{3}} = - 4$ умножим на $x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $- \frac{108}{x^{3}} = - 4$ на $x^{3}$ .

$- \frac{108}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{108}{x^{3}}$ в числитель.

$\frac{- 108}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 108}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 108 = - 4 x^{3}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 x^{3} = - 108$ .

$- 4 x^{3} = - 108$

Этап 4.2

Добавим $108$ к обеим частям уравнения.

$- 4 x^{3} + 108 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x^{3} + 108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} + 108 = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $108$ .

$- 4 x^{3} - 4 \cdot - 27 = 0$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (x^{3}) - 4 (- 27)$ .

$- 4 (x^{3} - 27) = 0$

Этап 4.3.2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$- 4 (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Этап 4.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$- 4 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Этап 4.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$- 4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Этап 4.3.4.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- 4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Этап 4.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.6

Приравняем $x^{2} + 3 x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x^{2} + 3 x + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ верно.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$