Математический анализ Примеры

$8 (4^{5 - x}) = 40$

Этап 1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (8 \cdot 4^{5 - x}) = \ln (40)$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\ln (8 \cdot 4^{5 - x})$ в виде $\ln (8) + \ln (4^{5 - x})$ .

$\ln (8) + \ln (4^{5 - x}) = \ln (40)$

Этап 2.2

Развернем $\ln (4^{5 - x})$ , вынося $5 - x$ из логарифма.

$\ln (8) + (5 - x) \ln (4) = \ln (40)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (8) + 5 \ln (4) - x \ln (4) = \ln (40)$

Этап 4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $5 \ln (4)$ .

$\ln (8) - x \ln (4) + 5 \ln (4) = \ln (40)$

Этап 4.2

Изменим порядок $\ln (8)$ и $- x \ln (4)$ .

$- x \ln (4) + \ln (8) + 5 \ln (4) = \ln (40)$

Этап 5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- x \ln (4) + \ln (8) + 5 \ln (4) - \ln (40) = 0$

Этап 6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8}{40}) = 0$

Этап 7

Сократим общий множитель $8$ и $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 (1)}{40}) = 0$

Этап 7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $8$ из $40$ .

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 5}) = 0$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель.

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 5}) = 0$

Этап 7.2.3

Перепишем это выражение.

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{1}{5}) = 0$

Этап 8

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $5 \ln (4)$ из обеих частей уравнения.

$- x \ln (4) + \ln (\frac{1}{5}) = - 5 \ln (4)$

Этап 8.2

Вычтем $\ln (\frac{1}{5})$ из обеих частей уравнения.

$- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$

Этап 9

Разделим каждый член $- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$ на $- \ln (4)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$ на $- \ln (4)$ .

$\frac{- x \ln (4)}{- \ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Этап 9.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Этап 9.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 5}{- 1} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Этап 9.3.1.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 5}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot - 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Этап 9.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot - 5$ в виде $- - 5$ .

$x = - - 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Этап 9.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$x = 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Этап 9.3.1.4

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = 5 + \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (4)}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 5 + \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (4)}$

Десятичная форма:

$x = 3.83903595 \dots$