Математический анализ Примеры

3 \cos (3 x) = 0

$3 \cos (3 x) = 0$

Этап 1

Разделим каждый член

3 \cos (3 x) = 0

$3 \cos (3 x) = 0$ на

3

$3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член

3 \cos (3 x) = 0

$3 \cos (3 x) = 0$ на

3

$3$ .

\frac{3 \cos (3 x)}{3} = \frac{0}{3}

$\frac{3 \cos (3 x)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{3 \cos (3 x)}{3} = \frac{0}{3}

$\frac{3 \cos (3 x)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.1.2

Разделим

\cos (3 x)

$\cos (3 x)$ на

1

$1$ .

\cos (3 x) = \frac{0}{3}

$\cos (3 x) = \frac{0}{3}$

\cos (3 x) = \frac{0}{3}

$\cos (3 x) = \frac{0}{3}$

\cos (3 x) = \frac{0}{3}

$\cos (3 x) = \frac{0}{3}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим

0

$0$ на

3

$3$ .

\cos (3 x) = 0

$\cos (3 x) = 0$

\cos (3 x) = 0

$\cos (3 x) = 0$

\cos (3 x) = 0

$\cos (3 x) = 0$

Этап 2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из косинуса.

3 x = \arccos (0)

$3 x = \arccos (0)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение

\arccos (0)

$\arccos (0)$ :

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

3 x = \frac{π}{2}

$3 x = \frac{π}{2}$

3 x = \frac{π}{2}

$3 x = \frac{π}{2}$

Этап 4

Разделим каждый член

3 x = \frac{π}{2}

$3 x = \frac{π}{2}$ на

3

$3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член

3 x = \frac{π}{2}

$3 x = \frac{π}{2}$ на

3

$3$ .

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 4.2.1.2

Разделим

x

$x$ на

1

$1$ .

x = \frac{\frac{π}{2}}{3}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

x = \frac{\frac{π}{2}}{3}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

x = \frac{\frac{π}{2}}{3}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.3.2

Умножим

\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ на

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

x = \frac{π}{2 \cdot 3}

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2

Умножим

2

$2$ на

3

$3$ .

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

Этап 5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из

2 π

$2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

3 x = 2 π - \frac{π}{2}

$3 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 6

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать

2 π

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

3 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$3 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.1.2

Объединим

2 π

$2 π$ и

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

3 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$3 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

3 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$3 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.1.4

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

3 x = \frac{4 π - π}{2}

$3 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 6.1.5

Вычтем

π

$π$ из

4 π

$4 π$ .

3 x = \frac{3 π}{2}

$3 x = \frac{3 π}{2}$

3 x = \frac{3 π}{2}

$3 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.2

Разделим каждый член

3 x = \frac{3 π}{2}

$3 x = \frac{3 π}{2}$ на

3

$3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член

3 x = \frac{3 π}{2}

$3 x = \frac{3 π}{2}$ на

3

$3$ .

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим

x

$x$ на

1

$1$ .

x = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

x = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

x = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.2.3.2

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель

3

$3$ из

3 π

$3 π$ .

x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Этап 7

Найдем период

\cos (3 x)

$\cos (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим

b

$b$ на

3

$3$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 3 |}

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

3

$3$ равно

3

$3$ .

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Этап 8

Период функции

\cos (3 x)

$\cos (3 x)$ равен

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого

n

$n$

Этап 9

Объединим ответы.

x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого

n

$n$