Математический анализ Примеры

$\ln (y - 1) - \ln (2) = x + \ln (x)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y - 1}{2}) = x + \ln (x)$

Этап 2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (\frac{y - 1}{2}) - \ln (x) = x$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{y - 1}{2}}{x}) = x$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{y - 1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = x$

Этап 5

Умножим $\frac{y - 1}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{y - 1}{2 x}) = x$

Этап 6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{y - 1}{2 x})} = e^{x}$

Этап 7

Перепишем $\ln (\frac{y - 1}{2 x}) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x} = \frac{y - 1}{2 x}$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y - 1}{2 x} = e^{x}$ .

$\frac{y - 1}{2 x} = e^{x}$

Этап 8.2

Умножим обе части на $2 x$ .

$\frac{y - 1}{2 x} (2 x) = e^{x} (2 x)$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Упростим $\frac{y - 1}{2 x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{y - 1}{2 x} x = e^{x} (2 x)$

Этап 8.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2 \frac{y - 1}{2 (x)} x = e^{x} (2 x)$

Этап 8.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y - 1}{2 x} x = e^{x} (2 x)$

Этап 8.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y - 1}{x} x = e^{x} (2 x)$

Этап 8.3.1.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 1}{x} x = e^{x} (2 x)$

Этап 8.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y - 1 = e^{x} (2 x)$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $e^{x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y - 1 = 2 e^{x} x$

Этап 8.3.2.1.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x} x$ .

$y - 1 = 2 x e^{x}$

Этап 8.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 x e^{x} + 1$