Математический анализ Примеры

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} < \frac{3}{2}$

Этап 1

Вычтем $\frac{3}{2}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перепишем $8 x^{3}$ в виде ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.1.1.2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 3^{3}}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.1.1.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 2 x$ и $b = 3$ .

$\frac{(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\frac{(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.1.1.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.1.1.4.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.1.1.4.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - (x) - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.1.2.1.2

Запишем $- 1$ как $2$ плюс $- 3$

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + (2 - 3) x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x (x + 1) - 3 (x + 1)} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 1$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.1.3

Сократим общий множитель $2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} < 0$

Этап 2.3

Чтобы записать $- \frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 1) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $(x + 1) \cdot 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{2 (x + 1)} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Этап 2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Этап 2.6.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Этап 2.6.2.3

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3 \cdot 1}{2 (x + 1)} < 0$

Этап 2.6.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Этап 2.6.5

Вычтем $3 x$ из $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 18 - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Этап 2.6.6

Вычтем $3$ из $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$8 x^{2} + 9 x + 15 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 8$ , $b = 9$ и $c = 15$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 15)}}{2 \cdot 8}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 8 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 32$ на $15$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 480}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.1.3

Вычтем $480$ из $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 399}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.1.4

Перепишем $- 399$ в виде $- 1 (399)$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 399}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (399)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{16}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

Этап 8

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 9

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

$x = - 1$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 (x + 1) = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разделим каждый член $2 (x + 1) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Разделим каждый член $2 (x + 1) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 10.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 10.2.1.2.1.2

Разделим $x + 1$ на $1$ .

$x + 1 = \frac{0}{2}$

Этап 10.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x + 1 = 0$

Этап 10.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 1$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 1$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1)$

Этап 13