Математический анализ Примеры

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 < 0$

Этап 1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим $u^{2} - 3 u + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 3.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 3.4

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 2) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 2, 1$

Этап 4

Подставим $2$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Этап 5

Решим $2 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Этап 5.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Этап 5.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Этап 5.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Этап 5.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (2)$

Этап 6

Подставим $1$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Этап 7

Решим $1 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Этап 7.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Этап 7.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Этап 7.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (1)$

Этап 7.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x = 0$

Этап 8

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (2), 0$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \ln (2)$

$x > \ln (2)$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$e^{2 (- 2)} - 3 e^{- 2} + 2 < 0$

Этап 10.1.3

Левая часть $1.61230978$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \ln (2)$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \ln (2)$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.35$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0.35$ в исходном неравенстве.

$e^{2 (0.35)} - 3 e^{0.35} + 2 < 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 0.24344993$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > \ln (2)$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > \ln (2)$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$e^{2 (3)} - 3 e^{3} + 2 < 0$

Этап 10.3.3

Левая часть $345.17218272$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \ln (2)$ Истина

$x > \ln (2)$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \ln (2)$ Истина

$x > \ln (2)$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < \ln (2)$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < \ln (2)$

Интервальное представление:

$(0, \ln (2))$

Этап 13